图的概念

1. 定义：
   线性表可以是空表，树可以是空树，但图一定非空（边集可以为空）
2. 简单图和多重图
   简单图：不存在重复的边，不存在到自己的边
   多重图：
   
3. 度
   顶点的度=入度+出度
4. 顶点与顶点的关系

图的存储以及基本操作

图的存储

邻接矩阵

领接表

十字链表（有向图）

邻接多重表（无向图）

图的遍历

BFS(广度优先搜索)

1. 思路：
   首先访问起始顶点v，然后选取与v邻接的全部顶点w1。。。wn，再一次访问w1。。。wn邻接的全部顶点，依次类推，一层一层向下遍历，直到所有节点被访问过为止（一层一层的访问，这一层访问谁是没关系的）
2. 代码实现：（以邻接表为存储结构）
   
   

DFS（深度优先遍历算法）

1. 思路
   首先访问起始节点，然后选一条路走到黑，走不下去以后，折返一个点，再从这个新点，一条路走到黑，如此反复，直到所有点都被访问
2. 代码实现
   

图的应用

最小生成树

Prim算法(普利姆算法)

思路 ：由小到大，逐步蚕食，每次并入最小路径，形成新的小团体
适用于边稠密图

Kruskal算法(克鲁斯卡尔算法）

思路：在所有离散的边中选最小的边（但两头已经连通的就不选了呀），一直到所有节点都连通
适用于边稀疏图

最短路径问题

单源最短路径（某一顶点到其余各顶点的最短路径）

1. BFS(无权图)
   此时的广度优先生成树是以搜索起点为根的高度最小的生成树
   ==缺点：只适合求无权图或者每边权值相等的图==
2. ==Dijkstra（带权图，无权图）迪杰特斯拉算法==
   思路：
   1.初始情况下，每个点到V0都有直达路径亦或是中转路径
   2.第一波，谁短谁纳入V0，就同流合污，
   3.纳入以后，你得更新每个点到V0的距离，有的点发现自己路过第一波纳入的那个点到V0，比一开始直达到V0近多了，那就更新一手
   4.第二波，在上面更新的结果里找到这次哪个点到V0的距离最短，在纳入同流合污，
   5.然后再更新距离表，如此往复
   缺点： ==不适合有负的权值图==

各顶点间的最短路径

1. Floyd（带权图，无权图）弗洛伊德算法
   思路：
   每次加入一个点，看能否经由这个点让路径变短，矩阵则更新
   逐个顶点试探。从所有可能的路径中选出一条长度最短的路径
   缺点：
   ==能解决有负权值的图，不能解决有"负权回路"的图==

有向无环图（Directed Acyclic Graph DAG）描述表达式

步骤：
把操作数不重复地排成一排
标出所有运算符的生效顺序
按顺序分层加入运算符
逐层检查是否可以合并

拓扑排序

1. AOV网(active on vertex network)：用顶点表示活动的网
2. 拓扑排序：
   思路：
   1.从AOV网中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点输出
   2.从网中删除该顶点和所有以他为起点的有向边
   3.重复1,2的内容直到当前的 AOV网为空或当前的网中不存在无前驱的顶点为止

关键路径

1. AOE网的基本概念
   只有在某顶点所代表的事件发生后，该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始
   只有在进入某顶点的各有向边所代表的活动都已经结束时，该顶点所代表的事件才能发生
   在AOE中只有一个入度为0的点，叫源点，一个出度为0的点，叫汇点

2. 操作过程：

   1. 基本概念
      ve()事件发生的最早时间
      vl（）事件发生的最迟时间
      e（）活动发生的最早时间
      l（）活动发生的最迟时间
      d（）活动时间余量：l（）- e（）
      关键活动的时间余量为0

   2. 解题步骤：

      1. 按拓扑排序序列，依次求每个点的ve（）事件最早发生的时间：
         源点的最早发生时间是0
         若某一事件有多条路径，则选择开销最大的一条作为ve（）的值
         累加求最大的过程，此节点的之前节点也是要求最大开销的
      2. 按逆拓扑排序序列，依次求各个点的vl（）事件最迟发生时间：
         汇点的vl和ve是相等的：这个也等于关键路径长度
         某一点的vl是取，后一个点的vl减去（所有可能）路径上开销 的 最小值
      3. 求所有活动的最早发生时间e（）：
         最早时间等于弧的起点的最早发生时间
      4. 求所有活动的最晚发生时间l（）：
         最晚时间等于弧的终点的最晚时间-弧的权值
      5. d（）=l（）-e（）是活动的时间余量：
         d为0的活动是关键活动，有关键活动可得关键路径