【分治法】集合划分问题

 题目描述：

问题描述：

　　n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1，2， 3，4}可以划分为15 个不同的非空子集如下：

{{1}，{2}，{3}，{4}}，

{{1，2}，{3}，{4}}，

{{1，3}，{2}，{4}}，

{{1，4}，{2}，{3}}，

{{2，3}，{1}，{4}}，

{{2，4}，{1}，{3}}，

{{3，4}，{1}，{2}}，

{{1，2}，{3，4}}，

{{1，3}，{2，4}}，

{{1，4}，{2，3}}，

{{1，2，3}，{4}}，

{{1，2，4}，{3}}，

{{1，3，4}，{2}}，

{{2，3，4}，{1}}，

{{1，2，3，4}}

其中，集合{{1，2，3，4}} 由1 个子集组成；集合{{1，2}，{3，4}}，{{1，3}，{2， 4}}，{{1，4}，{2，3}}，{{1，2，3}，{4}}，{{1，2，4}，{3}}，{{1，3，4}，{2}}，{{2， 3，4}，{1}} 由2 个子集组成；集合{{1，2}，{3}，{4}}，{{1，3}，{2}，{4}}，{{1，4}， {2}，{3}}，{{2，3}，{1}，{4}}，{{2，4}，{1}，{3}}，{{3，4}，{1}，{2}} 由3 个子集组成；集合{{1}，{2}，{3}，{4}} 由4 个子集组成。

编程任务：

　　给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个非空子集组成的集合。

数据输入：

　　由文件input.txt 提供输入数据。文件的第1 行是元素个数n 和非空子集数m。

结果输出:

　　程序运行结束时，将计算出的不同的由m个非空子集组成的集合数输出到文件output.txt 中。

输入文件示例            输出文件示例

input.txt               output.txt

4    3                      6

思路分析：

对{1,2,3}进行划分：

（1）、1个子集：{1,2,3}        即num(3,1)=1

（2）、2个子集：{1,2},{3}    {1,3},{2}     {2,3},{1}        即num(3,2)=3

（3）、3个子集：{1},{2},{3}        即num(3,3)=1

对{1,2,3,4}进行划分为3个子集：

（1），在对{1,2,3}划分为两个子集的结果中加入{4}: {1,2},{3},{4}    {1,3},{2},{4}     {2,3},{1},{4}        此个数为num(3,2)

（2）,在对{1,2,3}划分为三个子集的结果中加入元素4:{1,4},{2},{3}        {1},{2,4},{3}        {1},{2},{3,4}        此个数为num(3,3)*3

综上所述：

num(4,3)=num(3,2)+num(3,3)*3

推广至num(n,m)为：        num(n,m)=num(n-1,m-1)+num(n-1,m)*m  

且当 n==m或者m==1时，num(n,m)=1

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int num(int n, int m){
    if(n==m||m==1) return 1;
    else{return num(n-1,m-1)+num(n-1,m)*m;}
}
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    cout<<num(n,m)<<endl;
    return 0;
}