数学知识:高斯消元(一)

简介: 复习acwing算法基础课的内容,本篇为讲解数学知识:高斯消元,关于时间复杂度:目前博主不太会计算,先鸽了,日后一定补上。

文章目录

前言

一、高斯消元

二、例题,代码

AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

本题解析

AC代码

AcWing 884. 高斯消元解异或线性方程组

本题解析

AC代码

三、时间复杂度


前言

复习acwing算法基础课的内容,本篇为讲解数学知识:高斯消元,关于时间复杂度:目前博主不太会计算,先鸽了,日后一定补上。


一、高斯消元

高斯消元运用于去解多元函数的解,如下图所示:

image.png

利用高斯消元,我们可以在很短的时间内去判断这个多元方程是否有解,如果是由唯一组解的情况下可以解出这一解,高斯消元的计算过程类似于线性代数,如何去解这个问题,我们在下文会根据题目进行一些规定和分析.


二、例题,代码

AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

本题链接:AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

本博客提供本题截图:

image.png

image.png

本题解析

首先来说明以下本题的几个需要声明的量和值,然后再介绍高斯消元:

我们用二维数组a去存储整个方程组,注意我们在做除法的时候因为我们表达一个分数比较复杂,所以这里用的是小数,用小数就有了精度缺失这个问题,比如1 / 3 * 3这个结果应该是等于1的,但是我们表示成小数之后运算结果为0.999...,故我们在表达0这个量的时候,因为精度问题,我们可以用一个特别小的数去当0,当运算结果小于我们设定的这个十分小的数的时候,我们就默认为0,在本题中,我们用const double eps = 1e-6;去表达这个无穷小的数.本题中,我们用c去表示列,用r去表示行


我们在解的过程中,规定如下解法:

把整个多元函数集化简成如下图所示的情况:(空白部分均为0)

image.png

如果最后的化简结果如上图所示,那么就有唯一的一组解;

如果最后化简得到的式子中有0 = 非零这种特殊情况的,没有解;

如果最后化简得到的式子中有0 = 0这种情况的,有无数组解.


下面来规定几个高斯消元的操作(线代中的计算方法)

把某一行乘一个非零的数

交换某两行

将某行的若干倍加到另一行上


下面来正式介绍高斯消元在代码上如何实现求解的各种操作:

高斯消元分以下几个步骤:

枚举每一列c:

1.找到绝对值最大的一行

for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
{
  int t = r;
  for (int i = r; i < n; i ++ )
    if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
      t = i;
  if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;//如果最大的一行都已经是0了,那么就没必要操作这一列了,直接continue即可
}

2.将该行换到最上面

for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);

3.将该行第一个数变成1

这步的操作其实就是让该行的每一列元素都除以第一个不为0的列的值,这里需要注意必须倒着进行,否则如果第一个数除以本身的话,后面的数处理起来就比较麻烦了,解决方法可以是存储一下第一个数,但是没有这个必要,倒着进行for循环即可解决这个问题

for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];

4.将下面所有行的第c列消成0

这里注意我们已经让第r行,第c列的数变成1了,所以我们在消后面几行的时候,只需要让第i行第j列的元素减去该行第c列元素的值乘第r行j列元素的值

for (int i = r + 1; i < n; i ++ )
  if (fabs(a[i][c]) > eps)       //这个数不是0再进行操作
    for (int j = n; j >= c; j -- )
      a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

面来说说求解的过程:

按照常理来说,我们应该枚举到最后,我们的行数r应该是枚举到最后一行了,如果没有,证明这里有特殊情况出现了:即没有解或者有无穷多组解,下面我们来讨论这种情况:

if (r < n)
{
  for (int i = r; i < n; i ++ )
    if (fabs(a[i][n]) > eps)    //即等式左边全部为0,但是等式右边的值不为0
      return 2;               //证明无解
  return 1;                       //证明有无穷多组解
}

接下来看一下有解的代码,并计算解:

从下往上进行代值,得到方程的解,这里建议自己动手模拟一下这个过程

for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
  for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
    a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
  return 0;                        //证明有解

AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];
int gauss()
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;
        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
        for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
        r ++ ;
    }
    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2;
        return 1;
    }
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
    return 0;
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
            cin >> a[i][j];
    int t = gauss();
    if (t == 0)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf\n", a[i][n]);
    }
    else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else puts("No solution");
    return 0;
}


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