553. 最优除法 : 数学类贪心运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 553. 最优除法 ，难度为 中等。

Tag : 「贪心」、「数学」

给定一组正整数，相邻的整数之间将会进行浮点除法操作。例如， [2,3,4] -> 2 / 3 / 4 。

但是，你可以在任意位置添加任意数目的括号，来改变算数的优先级。你需要找出怎么添加括号，才能得到最大的结果，并且返回相应的字符串格式的表达式。你的表达式不应该含有冗余的括号。

示例：

输入: [1000,100,10,2]
输出: "1000/(100/10/2)"
解释:
1000/(100/10/2) = 1000/((100/10)/2) = 200
但是，以下加粗的括号 "1000/((100/10)/2)" 是冗余的，
因为他们并不影响操作的优先级，所以你需要返回 "1000/(100/10/2)"。
其他用例:
1000/(100/10)/2 = 50
1000/(100/(10/2)) = 50
1000/100/10/2 = 0.5
1000/100/(10/2) = 2
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说明:

• 输入数组的长度在 [1, 10][1,10] 之间。
• 数组中每个元素的大小都在 [2, 1000][2,1000] 之间。
• 每个测试用例只有一个最优除法解。

数学 + 贪心

我们假定取得最优解的表示为 \frac{a}{b}ba，可以留意到任意的 nums[i]nums[i] 的范围为 [2, 1000][2,1000]，因此我们应当让尽可能多的 nums[i]nums[i] 参与 aa（分子）的构建中。

因此一种可以构成最优表示的方式为「将除第一位以外的所有数作为一组，进行连除（转乘法），从而将所有 可以 变成分子的数都参与到 aa 的构建中」。

即有：

\frac{nums[0]}{nums[1] / nums[2] / ... / nums[n - 1]} = \frac{nums[0]}{nums[1] * \frac{1}{nums[2]} * ... * \frac{1}{nums[n - 1]}} = \frac{nums[0] * nums[2] * ... * nums[n - 1]}{nums[1]}nums[1]/nums[2]/.../nums[n−1]nums[0]=nums[1]∗nums[2]1∗...∗nums[n−1]1nums[0]=nums[1]nums[0]∗nums[2]∗...∗nums[n−1]

综上，我们只需要从前往后进行构建出连除的答案，如果 numsnums 的长度大于 22，再追加一对大括号即可。

[a_0, a_1, ... , a_n][a0,a1,...,an] => a_0/a_1/.../a_na0/a1/.../an => a_0/(a_1/.../a_n)a0/(a1/.../an)

代码：

class Solution {
    public String optimalDivision(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sb.append(nums[i]);
            if (i + 1 < n) sb.append("/");
        }
        if (n > 2) {
            sb.insert(sb.indexOf("/") + 1, "(");
            sb.append(")");
        }
        return sb.toString();
    }
}
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• 时间复杂度：O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(n * C)O(n∗C)，其中 CC 为 nums[i]nums[i] 的最大长度，对于本题 C = 4C=4

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.553 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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