题目描述
这是 LeetCode 上的 390. 消除游戏 ,难度为 中等。
Tag : 「动态规划」、「数学」、「约瑟夫环」
列表 arr
由在范围 [1, n]
中的所有整数组成,并按严格递增排序。
请你对 arr
应用下述算法:
- 从左到右,删除第一个数字,然后每隔一个数字删除一个,直到到达列表末尾。
- 重复上面的步骤,但这次是从右到左。也就是,删除最右侧的数字,然后剩下的数字每隔一个删除一个。
- 不断重复这两步,从左到右和从右到左交替进行,直到只剩下一个数字。
给你整数 n
,返回 arr
最后剩下的数字。
示例 1:
输入:n = 9 输出:6 解释: arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] arr = [2, 4, 6, 8] arr = [2, 6] arr = [6] 复制代码
示例 2:
输入:n = 1 输出:1 复制代码
提示:
- 1 <= n <= 10^91<=n<=109
约瑟夫环
与求解约瑟夫环类似,本题也可以通常找规律,分析出公式之后进行递推求解。
对于本题,定义 f[i]f[i] 为在 连续序列[1, i][1,i] 中进行「起始从左到右」的轮流换向间隔删除,最终左边剩余的编号;定义 f'[i]f′[i] 为在 连续序列[1, i][1,i] 中进行「起始从右到左」的轮流换向间隔删除,最终右边剩余的编号。
由于「从左往右」和「从右往左」分别为「从左端点发起,间隔删除」和「从右端点发起,间隔删除」,因此整个删除过程在连续序列中 [1, i][1,i] 中具有对称性,两者最终剩余的编号在连续序列中也具有对称性。
即可得出第一个公式:
f[i] + f'[i] = i + 1f[i]+f′[i]=i+1
考虑题目规定的「左右轮流进行发起删除」的操作如何进行。
由于我们对 f[i]f[i] 和 f'[i]f′[i] 的定义都是「连续序列」,因此如果我们希望使用 f[i]f[i] 和 f'[i]f′[i] 得出最终答案,我们需要在每次消除后对序列进行「重新编号」,确保能够使用 f[i]f[i] 和 f'[i]f′[i] 作为合法状态值,在计算出「重新编号」后的,需要将答案(编号)映射回去重新编号前的值。
起始时,我们对连续序列 [1, 2, 3, ... , i][1,2,3,...,i] 执行了一次「从左往右」的消除之后,得到的序列为 [2, 4, 6, ..., x][2,4,6,...,x](其中 xx 根据 ii 的奇偶性不同,可能为 ii 或 i - 1i−1)。新序列的长度为 \left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor⌊2i⌋。
考虑对得到的序列进行重新编号,使其继续保有「连续序列」的定义,即变为 [1, 2, 3, ... , \left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor][1,2,3,...,⌊2i⌋],然后执行「从右往左」的间隔删除,最终得到 f'[\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor]f′[⌊2i⌋],之后考虑将答案编号映射回「重新编号」前的值。
此时可得到第二个公式:
f[i] = f'[\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor] * 2f[i]=f′[⌊2i⌋]∗2
通过上述两个公式,我们可以将 f'[i]f′[i] 进行消除,得到最终的 f[i]f[i] 关系式:
f[i] = 2 * (\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor + 1 - f[\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor])f[i]=2∗(⌊2i⌋+1−f[⌊2i⌋])
我们知道需要实现的函数 lastRemaining
其实就是 f[i]f[i],因此该递推过程我们可以使用递归进行实现(注意的出口条件 f[1] = 1f[1]=1)。
代码:
class Solution { public int lastRemaining(int n) { return n == 1 ? 1 : 2 * (n / 2 + 1 - lastRemaining(n / 2)); } } 复制代码
- 时间复杂度:O(\log{n})O(logn)
- 空间复杂度:忽略递归带来的额外空间开销,复杂度为 O(1)O(1)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.390
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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