472. 连接词 : 序列 DP（字符串哈希优化）应用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 472. 连接词 ，难度为 困难。

Tag : 「字符串哈希」、「序列 DP」

给你一个 不含重复 单词的字符串数组 words ，请你找出并返回 words 中的所有 连接词 。

连接词 定义为：一个完全由给定数组中的至少两个较短单词组成的字符串。

示例 1：

输入：words = ["cat","cats","catsdogcats","dog","dogcatsdog","hippopotamuses","rat","ratcatdogcat"]
输出：["catsdogcats","dogcatsdog","ratcatdogcat"]
解释："catsdogcats" 由 "cats", "dog" 和 "cats" 组成; 
     "dogcatsdog" 由 "dog", "cats" 和 "dog" 组成; 
     "ratcatdogcat" 由 "rat", "cat", "dog" 和 "cat" 组成。
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示例 2：

输入：words = ["cat","dog","catdog"]
输出：["catdog"]
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提示：

• 1 <= words.length <= 10^41<=words.length<=104
• 0 <= words[i].length <= 10000<=words[i].length<=1000
• words[i]words[i] 仅由小写字母组成
• 0 <= sum(words[i].length) <= 10^50<=sum(words[i].length)<=105

序列 DP + 字符串哈希

给定数组 wordswords，先考虑如何判断某个 s = words[i]s=words[i] 是否为「连接词」。

为了方便，我们称组成 s 的每个连接部分为 item。

举个 🌰，例如 s = abc，其可能的 item 组合为 a 和 bc。

判断单个字符串是否为连接词可使用动态规划求解：定义 f[i]f[i] 为考虑 s 的前 ii 个字符（令下标从 11 开始），能够切分出的最大 item 数的个数。

这里之所以采用「记录 f[i]f[i] 为最大分割 item 数（int 类型动规数组）」，而不是「记录 f[i]f[i] 为是否可由多个 item 组成（bool 类型动规数组）」，是因为每个 s = words[i]s=words[i] 至少可由自身组成，采用 bool 记录状态的话，最终 f[n]f[n] 必然为 True，需要额外处理最后一个状态，干脆记录最大分割数量好了。此时如果 s 为「连接词」必然有 f[n] > 1f[n]>1。

不失一般性的考虑 f[i]f[i] 该如何转移：假设 f[i]f[i] 可由 f[j]f[j] 转移而来（其中 j < ij<i），那么能够转移的充要条件为 f[j] != 0f[j]!=0 且子串 s[(j + 1)..i]s[(j+1)..i] 在 wordswords 出现过。

其中枚举 ii 和 jj 的复杂度已经去到 O(n^2)O(n2) 了，如果常规通过 HashMap 等数据结构判断某个字符串是否存在，执行哈希函数时需要对字符进行遍历，整体复杂度去到了 O(n^3)O(n3)，会 TLE。

我们通过「字符串哈希」方式来优化判断某个子串是否存在于 wordswords 中。

具体的，在判断每个 s = words[i]s=words[i] 是否为为连接词前，先对 wordswords 进行遍历，预处理每个 words[i]words[i] 的哈希值，并存入 HashSet 中，这样我们将「判断某个子串是否存在于 wordswords」的问题转化为「判断某个数值是否存在于 Set 当中」。

又由于 我们在计算某个子串 s 的哈希值时，是从前往后处理每一位的 s[i]s[i]，因此在转移 f[i]f[i] 时，我们期望能够从前往后处理子串，这是常规的从 [0, i - 1][0,i−1] 范围内找可转移点 f[j]f[j] 无法做到的。

所以 我们调整转移逻辑为：从 f[i]f[i] 出发，枚举范围 [i + 1, n][i+1,n]，找到可由 f[i]f[i] 所能更新的状态 f[j]f[j]，并尝试使用 f[i]f[i] 来更新 f[j]f[j]。转移方程为：

f[j] = \max(f[j], f[i] + 1)f[j]=max(f[j],f[i]+1)

当然，能够转移的前提条件为 f[i]f[i] 为有效值，且子串 s[(i + 1), j]s[(i+1),j] 在 wordswords 出现过。

一些细节：为了方便，我们定义 f[i] = -1f[i]=−1 为无效状态；

另外由于字符串哈希会产生哈希碰撞，这里在计算哈希值的时候，修改了一下哈希计算方式（额外增加了一个 OFFSET），当时的目的是想在电脑没电前 AC，而另一个更加稳妥的方式是使用双哈希，或是干脆记录某个哈希值对应了哪些字符串。

代码：

class Solution {
    Set<Long> set = new HashSet<>();
    int P = 131, OFFSET = 128;
    public List<String> findAllConcatenatedWordsInADict(String[] words) {
        for (String s : words) {
            long hash = 0;
            for (char c : s.toCharArray()) hash = hash * P + (c - 'a') + OFFSET;
            set.add(hash);
        }
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        for (String s : words) {
            if (check(s)) ans.add(s);
        }
        return ans;
    }
    boolean check(String s) {
        int n = s.length();
        int[] f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, -1);
        f[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            if (f[i] == -1) continue;
            long cur = 0;
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                cur = cur * P + (s.charAt(j - 1) - 'a') + OFFSET;
                if (set.contains(cur)) f[j] = Math.max(f[j], f[i] + 1);
            }
            if (f[n] > 1) return true;
        }
        return false;
    }
}
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• 时间复杂度：令 nn 为 wordswords 数组长度，N = \sum_{i = 0}^{n - 1}words[i].lengthN=∑i=0n−1words[i].length，根据数据范围 NN 最大为 1e51e5。预处理出 Set 的复杂度为 O(N)O(N)；会对所有 words[i]words[i] 执行 check 操作，复杂度为 O((words[i].length)^2)O((words[i].length)2)，总的计算量最大值为 O(N^2)O(N2)，由于存在剪枝，实际上达不到该计算量
• 空间复杂度：O(n + \max(words[i].length))O(n+max(words[i].length))

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.472 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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