629. K个逆序对数组 : 一道序列 DP 状态转移优化题

题目描述

这是 LeetCode 上的 629. K个逆序对数组 ，难度为 困难。

Tag : 「序列 DP」、「前缀和」

给出两个整数 n 和 k，找出所有包含从 1 到 n 的数字，且恰好拥有 k 个逆序对的不同的数组的个数。

逆序对的定义如下：对于数组的第 i 个和第 j 个元素，如果满 i < j 且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

由于答案可能很大，只需要返回 答案 mod 10^9 + 7109+7 的值。

示例 1:

输入: n = 3, k = 0
输出: 1
解释: 
只有数组 [1,2,3] 包含了从1到3的整数并且正好拥有 0 个逆序对。
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示例 2:

输入: n = 3, k = 1
输出: 2
解释: 
数组 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 个逆序对。
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说明:

• n 的范围是 [1, 1000] 并且 k 的范围是 [0, 1000]。

序列 DP

从 nn 和 kk 数据范围均为 10^3103 可以看出这是一道二维的动态规划题。

定义 f[i][j]f[i][j] 为考虑使用数值 [1,i][1,i]，凑成逆序对数量恰好为 jj 的数组个数。

不失一般性的考虑 f[i][j]f[i][j] 该如何计算，对第 ii 个数（即数值为 ii 的数）所在位置进行讨论，共有 ii 种选择。

假设第 ii 个数所在位置为 kk，由于数值 ii 为整个数组的最大值，因此数值 ii 与前面所有数均不形成逆序对，与后面的所有数均形成逆序对。因此与数值 ii 直接相关的逆向对的数量为 (i - 1)- k(i−1)−k，由此也得出与 ii 不相关的逆序对数量为 j - (i - 1 - k)j−(i−1−k)，而与 ii 不相关的逆序对数量由 f[i - 1][x]f[i−1][x] 可得出。

举个 🌰 帮助大家理解：

• 当数值 ii 放置在下标为 00 的位置上，那么由数值 ii 产生的逆序对数量为 i - 1i−1，总的逆序对数量为 jj，因此由数值范围为 [1, i - 1][1,i−1]（与数值 ii 不相关）构成的逆序对数量为 j - (i - 1)j−(i−1)，即 f[i - 1][j - (i - 1)]f[i−1][j−(i−1)]；
  
• 当数值 ii 放置在下标为 11 的位置上，那么由数值 ii 产生的逆序对数量为 (i - 1) - 1(i−1)−1，总的逆序对数量为 jj，因此由数值范围为 [1, i - 1][1,i−1]（与数值 ii 不相关）构成的逆序对数量为 j - (i - 1 - 1)j−(i−1−1)，即 f[i - 1][j - (i - 1 - 1)]f[i−1][j−(i−1−1)]；
  ...
  
• 当数值 ii 放置在下标为 kk 的位置上，那么由数值 ii 产生的逆序对数量为 (i - 1) - k(i−1)−k，总的逆序对数量为 jj，因此由数值范围为 [1, i - 1][1,i−1]（与数值 ii 不相关）构成的逆序对数量为 j - (i - 1 - k)j−(i−1−k)，即 f[i - 1][j - (i - 1 - k)]f[i−1][j−(i−1−k)]。
  

综上，最终 f[i][j]f[i][j] 转移方程为（kk 为数值 ii 放置的位置）：

f[i][j] = \sum_{k = 0}^{i - 1}(f[i - 1][j - (i - 1 - k)])f[i][j]=k=0∑i−1(f[i−1][j−(i−1−k)])

共有 n * kn∗k 个状态，每个 f[i][j]f[i][j] 的计算需要枚举数值 ii 所在位置并进行累加，总的复杂度为 O(n^2 *k)O(n2∗k)，计算量为 10^9109，会 TLE。

状态数量不可减少，考虑如何优化单个状态的转移过程。

不难发现 \sum_{k = 0}^{i - 1}(f[i - 1][j - (i - 1 - k)])∑k=0i−1(f[i−1][j−(i−1−k)]) 部分为上一次转移结果 f[i - 1][x]f[i−1][x] 的某个前缀，可以使用前缀和数组进行优化，从而将计算单个状态的复杂度从 O(n)O(n) 降到 O(1)O(1)。

一些细节：为处理负数问题，我们可以在取模之前先加一次 mod；另外需要对 jj 和 ii 的大小进行分情况讨论，防止数值 ii 放置的位置“过于靠前”导致组成逆序对的数量超过 jj。

代码（P1P1P2P2 分别为使用 long 和不使用 long）：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int kInversePairs(int n, int k) {
        long[][] f = new long[n + 1][k + 1];
        long[][] sum = new long[n + 1][k + 1];
        f[1][0] = 1;
        Arrays.fill(sum[1], 1);
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                f[i][j] = j < i ? sum[i - 1][j] : sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - (i - 1) - 1];
                f[i][j] = (f[i][j] + mod) % mod;
                sum[i][j] = j == 0 ? f[i][j] : sum[i][j - 1] + f[i][j];
                sum[i][j] = (sum[i][j] + mod) % mod;
            }
        }
        return (int)f[n][k];
    }
}
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class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int kInversePairs(int n, int k) {
        int[][] f = new int[n + 1][k + 1];
        int[][] sum = new int[n + 1][k + 1];
        f[1][0] = 1;
        Arrays.fill(sum[1], 1);
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                f[i][j] = j < i ? sum[i - 1][j] : (sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - (i - 1) - 1] + mod) % mod;
                sum[i][j] = j == 0 ? f[i][j] : (sum[i][j - 1] + f[i][j]) % mod;
            }
        }
        return f[n][k];
    }
}
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• 时间复杂度：O(n * k)O(n∗k)
• 空间复杂度：O(n * k)O(n∗k)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.629 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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