【刷穿 LeetCode】282. 给表达式添加运算符 : 一道利用「代数系统」的回溯题

题目描述

这是 LeetCode 上的 282. 给表达式添加运算符 ，难度为 困难。

Tag : 「DFS」、「数学」

给定一个仅包含数字 0-9 的字符串 num 和一个目标值整数 target ，在 num 的数字之间添加 二元 运算符（不是一元）+、- 或 * ，返回所有能够得到目标值的表达式。

示例 1:

输入: num = "123", target = 6
输出: ["1+2+3", "1*2*3"] 
复制代码

示例 2:

输入: num = "232", target = 8
输出: ["2*3+2", "2+3*2"]
复制代码

示例 3:

输入: num = "105", target = 5
输出: ["1*0+5","10-5"]
复制代码

示例 4:

输入: num = "00", target = 0
输出: ["0+0", "0-0", "0*0"]
复制代码

示例 5:

输入: num = "3456237490", target = 9191
输出: []
复制代码

提示：

• 1 <= num.length <= 10
• num 仅含数字
• -2^{31} <= target <= 2^{31} - 1−231<=target<=231−1

回溯算法

最开始的想法是先使用 DFS 搜出来所有的表达式，然后套用 （题解）227. 基本计算器 II 方案，计算所有表达式的结果，并将计算结果为 targettarget 的表达式加到结果集。

假设原字符串 numnum 的长度为 nn，由于每个位置之间存在四种插入决策（不插入符号、+、- 和 *），共有 n - 1n−1 个位置需要决策，因此搜索所有表达式的复杂度为 O(4^{n - 1})O(4n−1)；同时需要对所有的表达式执行计算，复杂度为 O(n)O(n)，整体复杂度为 O(n * 4^{n - 1})O(n∗4n−1)。

添加运算符后的表达式长度不会超过 2020，因此总的计算量应该是在 10^7107 以内，但可能是因为常数问题超时了（各种优化双栈操作也还是 TLE，在这上面浪费了好多时间 QWQ）。

因此，我们需要考虑在搜索过程中进行计算，以避免使用 （题解）227. 基本计算器 II 这种常数较大的计算方式。

我们考虑如果只有 + 和 - 的话，可以很容易将运算和回溯搜索所有表达进行结合。但当存在 * 时，由于存在运算优先级的问题，我们需要记录形如 a + b * c 中的乘法部分。

实现上，除了记录当前决策到原串 numnum 的哪一位 uu，以及当前的运算结果 curcur 以外，还需要额外记录最后一次的计算结果 prevprev，然后在决策表达式中的第 kk 个部分时，对本次添加的运算符合做分情况讨论：

• 如果本次添加的 + 操作，且第 kk 项的值是 nextnext：那么直接使用 cur + nextcur+next 来更新 curcur，同时 nextnext 作为下一次的 prevprev；
• 如果本次添加的 - 操作，且第 kk 项的值是 nextnext：同理，那么直接使用 cur - nextcur−next 来更新 curcur，同时 -next−next 作为下一次的 prevprev；
• 如果本次添加的 * 操作，且第 kk 项的值是 nextnext：此时需要考虑运算符的优先级问题，由于本次的 nextnext 是与上一次的操作数 prevprev 执行乘法，而 curcur 已经累加了 prevprev 的影响，因此需要先减去 prevprev，再加上 prev * nextprev∗next，以此来更新 curcur，同时 prev * nextprev∗next 也作为下一次的 prevprev。

一些细节：需要注意前导零（00 单独作为一位是被允许的，但是多位且首部为 00 是不允许的）以及 + 和 - 不作为一元运算符（运算符不能出现在表达式的首部）的情况。

代码：

class Solution {
    List<String> ans = new ArrayList<>();
    String s;
    int n, t;
    public List<String> addOperators(String num, int target) {
        s = num;
        n = s.length();
        t = target;
        dfs(0, 0, 0, "");
        return ans;
    }
    void dfs(int u, long prev, long cur, String ss) {
        if (u == n) {
            if (cur == t) ans.add(ss);
            return ;
        }
        for (int i = u; i < n; i++) {
            if (i != u && s.charAt(u) == '0') break;
            long next = Long.parseLong(s.substring(u, i + 1));
            if (u == 0) {
                dfs(i + 1, next, next, "" + next);
            } else {
                dfs(i + 1,  next, cur + next, ss + "+" + next);
                dfs(i + 1, -next, cur - next, ss + "-" + next);
                long x = prev * next;
                dfs(i + 1, x, cur - prev + x, ss + "*" + next);
            }
        }
    }
}
复制代码

• 时间复杂度：O(4^{n})O(4n)
• 空间复杂度：O(4^{n})O(4n)

总结

该做法表面上，只是实现了边搜索边计算的功能，但其本质上是利用了实数集 SS 和运算符 +（- 的本质也是 +）和 * 能够组成代数系统。

利用代数系统 (S, +, *)(S,+,∗)，我们可以确保运算过程中的任意一个中间结果，都能使用形如 a + b * c 的形式进行表示，因此我们只需要多维护一个后缀串结果即可。

而代数系统的相关知识，以及如何确定能否作为一个代数系统，有兴趣的同学可以尝试去了解一下。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.282 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。