题目描述
这是 LeetCode 上的 456. 132 模式 ，难度为 中等。
Tag : 「单调栈」
给你一个整数数组 nums ，数组中共有 n 个整数。132 模式的子序列 由三个整数 nums[i]、nums[j] 和 nums[k] 组成，并同时满足：i < j < k 和 nums[i] < nums[k] < nums[j] 。
如果 nums 中存在 132 模式的子序列 ，返回 true ；否则，返回 false 。
进阶：很容易想到时间复杂度为 O(n^2)O(n2) 的解决方案，你可以设计一个时间复杂度为 O(n logn)O(nlogn) 或O(n)O(n) 的解决方案吗？
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4] 输出：false 解释：序列中不存在 132 模式的子序列。 复制代码
示例 2：
输入：nums = [3,1,4,2] 输出：true 解释：序列中有 1 个 132 模式的子序列： [1, 4, 2] 。 复制代码
示例 3：
输入：nums = [-1,3,2,0] 输出：true 解释：序列中有 3 个 132 模式的的子序列：[-1, 3, 2]、[-1, 3, 0] 和 [-1, 2, 0] 。 复制代码
提示：
- n == nums.length
- 1 <= n <= 10^4104
- -10^9109 <= nums[i] <= 10^9109
基本思路
朴素的做法是分别对三个数进行枚举，这样的做法是 O(n^3)O(n3) 的，数据范围是 10^4104，稳稳超时。
事实上，这样的数据范围甚至不足以我们枚举其中两个数，然后优化找第三个数的 O(n^2)O(n2) 做法。
这时候根据数据范围会联想到树状数组，使用树状数组的复杂度是 O(n\log{n})O(nlogn) 的，可以过。但是代码量会较多一点，还需要理解离散化等前置知识。
题解也不太好写。
因此，我们可以从 132 的大小特性去分析，如果在确定一个数之后，如何快速找到另外两个数（我们使用 ijk 来代指 132 结构）：
- 枚举
i：由于i是 132 结构中最小的数，那么相当于我们要从 i 后面，找到一个对数(j,k)，使得(j,k)都满足比i大，同时j和k之间存在j > k的关系。由于我们的遍历是单向的，因此我们可以将问题转化为找k，首先k需要比i大，同时在[i, k]之间存在比k大的数即可。 - 枚举
j：由于j是 132 结构里最大的数，因此我们需要在j的右边中比j小的「最大」的数，在j的左边找比j小的「最小」的数。这很容易联想到单调栈，但是朴素的单调栈是帮助我们找到左边或者右边「最近」的数，无法直接满足我们「最大」和「最小」的要求，需要引入额外逻辑。 - 枚举
k：由于k是 132 结构中的中间值，这里的分析逻辑和「枚举 i」类似，因为遍历是单向的，我们需要找到k左边的i，同时确保[i,k]之间存在比i和k大的数字。
以上三种分析方法都是可行的，但「枚举 i」的做法是最简单的。
因为如果存在 (j,k) 满足要求的话，我们只需要找到一个最大的满足条件的 k，通过与 i 的比较即可。
也许你还不理解是什么意思。没关系，我们一边证明一边说。
过程 & 证明
先说处理过程吧，我们从后往前做，维护一个「单调递减」的栈，同时使用 k 记录所有出栈元素的最大值（k 代表满足 132 结构中的 2）。
那么当我们遍历到 i，只要满足发现满足 nums[i] < k，说明我们找到了符合条件的 i j k。
举个🌰，对于样例数据 [3, 1, 4, 2]，我们知道满足 132 结构的子序列是 [1, 4, 2]，其处理逻辑是（遍历从后往前）：
- 枚举到 2：栈内元素为 [2]，
k= INF - 枚举到 4：不满足「单调递减」，2 出栈更新
k，4 入栈。栈内元素为 [4]，k= 2 - 枚举到 1：满足
nums[i] < k，说明对于i而言，后面有一个比其大的元素（满足i < k的条件），同时这个k的来源又是因为维护「单调递减」而弹出导致被更新的（满足i和k之间，有比k要大的元素）。因此我们找到了满足 132 结构的组合。
这样做的本质是：我们通过维护「单调递减」来确保已经找到了有效的 (j,k)。换句话说如果 k 有值的话，那么必然是因为有 j > k，导致的有值。也就是 132 结构中，我们找到了 32，剩下的 i （也就是 132 结构中的 1）则是通过遍历过程中与 k 的比较来找到。这样做的复杂度是 O(n)O(n) 的，比树状数组还要快。
从过程上分析，是没有问题的。
搞清楚了处理过程，证明也变得十分简单。
我们不失一般性的考虑任意数组 nums，假如真实存在 ijk 符合 132 的结构（这里的 ijk 特指所有满足 132 结构要求的组合中 k 最大的那个组合）。
由于我们的比较逻辑只针对 i 和 k，而 i 是从后往前的处理的，必然会被遍历到；漏掉 ijk 的情况只能是：在遍历到 i 的时候，我们没有将 k 更新到变量中：
- 这时候变量的值要比真实情况下的
k要小，说明k还在栈中，而遍历位置已经到达了i，说明j和k同时在栈中，与「单调递减」的性质冲突。 - 这时候变量的值要比真实情况下的
k要大，说明在k出栈之后，有比k更大的数值出栈了（同时必然有比变量更大的值在栈中），这时候要么与我们假设ijk是k最大的组合冲突；要么与我们遍历到的位置为i冲突。
综上，由于「单调递减」的性质，我们至少能找到「遍历过程中」所有符合条件的 ijk 中 k 最大的那个组合。
单调栈
代码：
class Solution { public boolean find132pattern(int[] nums) { int n = nums.length; Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>(); int k = Integer.MIN_VALUE; for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { if (nums[i] < k) return true; while (!d.isEmpty() && d.peekLast() < nums[i]) { // 事实上，k 的变化也具有单调性，直接使用 k = pollLast() 也是可以的 k = Math.max(k, d.pollLast()); } d.addLast(nums[i]); } return false; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(n)O(n)
- 空间复杂度：O(n)O(n)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.456 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
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