题目描述
这是 LeetCode 上的 91. 解码方法 ，难度为 中等。
Tag : 「线性 DP」
一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：
'A' -> 1 'B' -> 2 ... 'Z' -> 26 复制代码
要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，"11106" 可以映射为：
- "AAJF" ，将消息分组为 (1 1 10 6)
- "KJF" ，将消息分组为 (11 10 6)
注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 "06" 不能映射为 "F" ，这是由于 "6" 和 "06" 在映射中并不等价。
给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。
题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。
示例 1：
输入：s = "12" 输出：2 解释：它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。 复制代码
示例 2：
输入：s = "226" 输出：3 解释：它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。 复制代码
示例 3：
输入：s = "0" 输出：0 解释：没有字符映射到以 0 开头的数字。 含有 0 的有效映射是 'J' -> "10" 和 'T'-> "20" 。 由于没有字符，因此没有有效的方法对此进行解码，因为所有数字都需要映射。 复制代码
示例 4：
输入：s = "06" 输出：0 解释："06" 不能映射到 "F" ，因为字符串含有前导 0（"6" 和 "06" 在映射中并不等价）。 复制代码
提示：
- 1 <= s.length <= 100
- s 只包含数字，并且可能包含前导零。
基本分析
我们称一个解码内容为一个 item。
为根据题意，每个 item 可以由一个数字组成，也可以由两个数字组成。
数据范围为 100，很具有迷惑性，可能会有不少同学会想使用 DFS 进行爆搜。
我们可以大致分析一下这样的做法是否可行：不失一般性的考虑字符串 s 中的任意位置 i，位置 i 既可以作为一个独立 item，也可以与上一位置组成新 item，那么相当于每个位置都有两种分割选择（先不考虑分割结果的合法性问题），这样做法的复杂度是 O(2n)O(2^n)O(2n) 的，当 n 范围是 100 时，远超我们计算机单秒运算量
（10710^7107）。即使我们将「判断分割结果是否合法」的操作放到爆搜过程中做剪枝，也与我们的单秒最大运算量相差很远。
递归的方法不可行，我们需要考虑递推的解法。
动态规划
这其实是一道字符串类的动态规划题，不难发现对于字符串 s 的某个位置 i 而言，我们只关心「位置 i 自己能否形成独立 item 」和「位置 i 能够与上一位置（i-1）能否形成 item」，而不关心 i-1 之前的位置。
有了以上分析，我们可以从前往后处理字符串 s，使用一个数组记录以字符串 s 的每一位作为结尾的解码方案数。即定义 f[i]f[i]f[i] 为考虑前 iii 个字符的解码方案数。
对于字符串 s 的任意位置 i 而言，其存在三种情况：
- 只能由位置
i的单独作为一个item，设为a，转移的前提是a的数值范围为 [1,9][1,9][1,9]，转移逻辑为 f[i]=f[i−1]f[i] = f[i - 1]f[i]=f[i−1]。 - 只能由位置
i的与前一位置（i-1）共同作为一个item，设为b，转移的前提是b的数值范围为 [10,26][10,26][10,26]，转移逻辑为 f[i]=f[i−2]f[i] = f[i - 2]f[i]=f[i−2]。 - 位置
i既能作为独立item也能与上一位置形成item，转移逻辑为 f[i]=f[i−1]+f[i−2]f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]f[i]=f[i−1]+f[i−2]。
因此，我们有如下转移方程：
{f[i]=f[i−1],1⩽a≤9f[i]=f[i−2],10⩽b⩽26f[i]=f[i−1]+f[i−2],1⩽a≤9,10⩽b⩽26\begin{cases} f[i] = f[i - 1], 1 \leqslant a \leq 9 \\ f[i] = f[i - 2], 10 \leqslant b \leqslant 26 \\ f[i] = f[i - 1] + f[i - 2], 1 \leqslant a \leq 9, 10 \leqslant b \leqslant 26 \\ \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧f[i]=f[i−1],1⩽a≤9f[i]=f[i−2],10⩽b⩽26f[i]=f[i−1]+f[i−2],1⩽a≤9,10⩽b⩽26
其他细节：由于题目存在前导零，而前导零属于无效 item。可以进行特判，但个人习惯往字符串头部追加空格作为哨兵，追加空格既可以避免讨论前导零，也能使下标从 1 开始，简化 f[i-1] 等负数下标的判断。
代码：
class Solution { public int numDecodings(String s) { int n = s.length(); s = " " + s; char[] cs = s.toCharArray(); int[] f = new int[n + 1]; f[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { // a : 代表「当前位置」单独形成 item // b : 代表「当前位置」与「前一位置」共同形成 item int a = cs[i] - '0', b = (cs[i - 1] - '0') * 10 + (cs[i] - '0'); // 如果 a 属于有效值，那么 f[i] 可以由 f[i - 1] 转移过来 if (1 <= a && a <= 9) f[i] = f[i - 1]; // 如果 b 属于有效值，那么 f[i] 可以由 f[i - 2] 或者 f[i - 1] & f[i - 2] 转移过来 if (10 <= b && b <= 26) f[i] += f[i - 2]; } return f[n]; } } 复制代码
- 时间复杂度：共有
n个状态需要被转移。复杂度为 O(n)O(n)O(n)。 - 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)。
空间优化
不难发现，我们转移 f[i] 时只依赖 f[i-1] 和 f[i-2] 两个状态。
因此我们可以采用与「滚动数组」类似的思路，只创建长度为 3 的数组，通过取余的方式来复用不再需要的下标。
代码：
class Solution { public int numDecodings(String s) { int n = s.length(); s = " " + s; char[] cs = s.toCharArray(); int[] f = new int[3]; f[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { f[i % 3] = 0; int a = cs[i] - '0', b = (cs[i - 1] - '0') * 10 + (cs[i] - '0'); if (1 <= a && a <= 9) f[i % 3] = f[(i - 1) % 3]; if (10 <= b && b <= 26) f[i % 3] += f[(i - 2) % 3]; } return f[n % 3]; } } 复制代码
- 时间复杂度：共有
n个状态需要被转移。复杂度为 O(n)O(n)O(n)。 - 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.91 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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