2.1.3 向-∞取整
#include <stdio.h> #include <math.h> //因为使用了floor函数，需要添加该头文件 #include <windows.h> int main() { //本质是向-∞取整，注意输出格式要不然看不到结果 printf("%.1f\n", floor(-2.9)); //-3 printf("%.1f\n", floor(-2.1)); //-3 printf("%.1f\n", floor(2.9)); //2 printf("%.1f\n", floor(2.1)); //2 system("pause"); return 0; }
2.1.4 向+∞取整
#include <stdio.h> #include <math.h> #include <windows.h> int main() { //本质是向+∞取整，注意输出格式要不然看不到结果 printf("%.1f\n", ceil(-2.9)); //-2 printf("%.1f\n", ceil(-2.1)); //-2 printf("%.1f\n", ceil(2.9)); //3 printf("%.1f\n", ceil(2.1)); //3 system("pause"); return 0; }
2.1.5 四舍五入
#include <stdio.h> #include <math.h> #include <windows.h> int main() { //本质是四舍五入 printf("%.1f\n", round(2.1)); printf("%.1f\n", round(2.9)); printf("%.1f\n", round(-2.1)); printf("%.1f\n", round(-2.9)); system("pause"); return 0; }
结论：浮点数（整数/整数），是有很多的取整方式的。
PS：C默认向0取整。
2.2 聊聊取模
取模概念：
如果 a 和 d 是两个自然数， d 非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r ，满足 a = q * d + r 且 0 ≤ r < d 。其中， q被称为商，r 被称为余数。
我们平时都是用的正数的取模，所以并没有发现什么问题，但是想一想，我们如果遇到负数的取模呢？
1
#include <stdio.h> #include <windows.h> int main () { int a = 10 ; int d = 3 ; printf ( "%d\n" , a % d ); // 结果是 1 // 因为： a=10,d=3,q=3,r=1 0<=r<d(3) // 所以： a = q*d+r -> 10=3*3+1 system ( "pause" ); return 0 ; }
2
#include <stdio.h> #include <windows.h> int main () { int a = - 10 ; int d = 3 ; //printf("%d\n", a/d); //C 语言中是 -3 ，很好理解 printf ( "%d\n" , a % d ); system ( "pause" ); return 0 ; }
但是2在python中我们发现是2？
结论：很显然，上面关于取模的定义，并不能满足语言上的取模运算
因为在 C 中，现在 - 10 % 3 出现了负数，根据定义：满足 a = q * d + r 且 0 ≤ r < d ， C 语言中的余数，是不满足定义的， 因为，r < 0 了。
故，大家对取模有了一个修订版的定义：
如果 a 和 d 是两个自然数， d 非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r ，满足 a = q * d + r , q 为整数，且 0 ≤ | r | < | d | 。其中， q 被称为商， r 被称为余数。
有了这个新的定义，那么 C 中或者 Python 中的 “ 取模 ” ，就都能解释了。
解释 C : - 10 = ( - 3 ) * 3 + ( - 1 )
解释 Python ： - 10 = （ ? ） * 3 + 2 , 其中，可以推到出来 , '?' 必须是-4 ( 后面验证 ). 即 - 10 = （
- 4 ） * 3 + 2 ，才能满足定义。
所以，在不同语言，同一个计算表达式，负数 “ 取模 ” 结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数
2.2.2 是什么决定了这种现象
由上面的例子可以看出，具体余数r的大小，本质是取决于商q的。
而商，又取决谁呢？取决于除法计算的时候，取整规则。
简单说，要先算商，再算余数，而商的取法前面说了4种，这就要看编译器。
2.2.3 取余和取模一样吗？
这两个并不能严格等价 ( 虽然大部分情况差不多 ) 取余或者取模，都应该要算出商，然后才能得出余数。
本质 1 取整：
取余：尽可能让商，进行向0取整。
取模：尽可能让商，向-∞方向取整。
故：
C中%,本质其实是取余。
Python 中 % ，本质其实是取模。
理解链：
对任何一个大于 0 的数， 对其进行0向取整和-∞取整 ，取整方向是一致的。故取模等价于取余
对任何一个小于 0 的数， 对其进行0向取整和-∞取整 ，取整方向是相反的。故取模不等价于取余
同符号数据相除，得到的商，一定是正数（正数 vs 正整数），即大于 0 ！
故，在对其商进行取整的时候，取模等价于取余。
本质 2 符号：
参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余
2.2.4 如果参与运算的数据，不同符号呢？
#include <stdio.h> #include <windows.h> int main() { printf("%d\n", -10 / 3); //结果：-3 printf("%d\n\n", -10 % 3); //结果：-1 为什么? -10=(-3)*3+(-1) printf("%d\n", 10 / -3); //结果：-3 printf("%d\n\n", 10 % -3); //结果：1 为什么？10=(-3)*(-3)+1 system("pause"); return 0; }
明显结论：如果不同符号，余数的求法，参考之前定义。而余数符号，与被除数相同（？）。
但是：
好像不是这样的，为什么呢？
重新看看定义：
如果 a 和 d 是两个自然数， d 非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r ，满足 a = q * d + r , q 为整数，且 0 ≤ | r | < | d | 。其中， q 被称为商， r 被称为余数。
a = q * d + r 变换成 r = a - q * d 变换成 r = a + ( - q * d )
对于： x = y + z ，这样的表达式， x 的符号 与 | y | 、 | z | 中大的数据一致。
而 r = a + ( - q * d ) 中， | a | 和 |- q * d | 的绝对值谁大，取决于商 q 的取整方式。
c 是向 0 取整的，也就是 q 本身的绝对值是减小的。
如：
- 10 / 3 =- 3.333 . 33 向 0 取整 - 3. a =- 10 | 10 | , - q * d =- ( - 3 ) * 3 = 9 | 9 |
10 /- 3 =- 3.333 . 33 向 0 取整 - 3. a = 10 | 10 | , - q * d =- ( - 3 ) * ( - 3 ) =- 9 | 9 |
绝对值都变小了
python 是向 - ∞ 取整的，也就是 q 本身的绝对值是增大的。
- 10 / 3 =- 3.333 . 33 '//' 向 - ∞ 取整 - 4. a =- 10 | 10 | , - q * d =- ( - 4 ) * 3 = 12 | 12 |
10 /- 3 =-- 3.333 . 33 '//' 向 - ∞ 取整 - 4. a = 10 | 10 | , - q * d =- ( - 4 ) * ( - 3 ) =- 12 | 12 |
绝对值都变大了
结论：如果参与取余的两个数据符号不同，在 C 语言中 ( 或者其他采用向 0 取整的语言如： C ++ ， Java ) ，余数符号，与被除数相同。
2.2.5 总结
浮点数(或者整数相除)，是有很多的取整方式的。
如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
在不同语言，同一个计算表达式，“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数。
具体余数r的大小，本质是取决于商q的。而商，又取决于除法计算的时候，取整规则。
取余vs取模： 取余尽可能让商，进行向0取整。取模尽可能让商，向-∞方向取整。
参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余。
如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：C++，Java)，余数符号，与被除数相同。（因为采用的向0取整）
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