简介

17世纪的瓦里士到19世纪的高斯，复数的几何表示逐渐发展，高斯在1831年详细阐述了复平面。曼德博集合，以分形特征著称，是复平面上点的集合，通过迭代( f_c(z) = z^2 + c )计算。

17世纪时，英国数学家瓦里士已经意识到在直线上不能找到虚数的几何表示。

1797年，挪威的测量学家维塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，首先提出把复数用坐标平面上的点来表示，使全体复数与平面上的点建立了一一对应关系，形成了复平面概念。但当时没有受到人们的重视。

1806年，日内瓦的阿工在巴黎发表的论文《虚量，它的几何解释》，也谈到了复数的几何表示法。他用“模”这个名词来表示向量的长度，模这术语就源出于此。

伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。

他在1799年已经知道复数的几何表示，在1799年、1815年、1816年对代数基本定理作出的三个证明中，都假定了复数和直角坐标平面上的点一一对应，到1831年他对复平面作出了详细的说明。

1 复数对称的自相似平面图形

曼德博集合以数学家曼德博命名，它是复数平面组成分形的点的集合。 可以使用复二次多项式进行迭代计算。

    f_c(z) = z^2 + c

它最大的特点就是自相似。 对于大多数分形软件，内部已经有比较成熟的代码。

如下，我们通过判断是否处理绘画区域决定是否绘制。

  func inMandelbrot(x0 float64, y0 float64, n int) bool {
        var (
            x float64 = 0.0
            y float64 = 0.0
        )
        for n > 0 {
            xtemp := x*x - y*y + x0
            y = 2.0*x*y + y0
            x = xtemp
            n = n - 1
            if x*x+y*y > 4.0 {
                return false
            }
        }
        return true
    }

并依据规则生成图形代码

  for y >= ys {
        x := xs
        lineStr := []string{}
        for x < xe {
            n += 1
            if inMandelbrot(x, y, int(threshhold)) {
                lineStr = append(lineStr, "*")
            } else {
                lineStr = append(lineStr, ".")

            }
            x += dx
        }
        if i == 0 {
            lines := fmt.Sprintf("%v", strings.Join(lineStr, ""))
            endStr = append(endStr, lines)

        } else {
            stwo := ChangePlace(lineStr)
            lines := fmt.Sprintf("%v", strings.Join(stwo, ""))
            endStrTwo = append(endStrTwo, lines)

        }
        y -= dy
    }

最后组合成我们期望的对称图形。

3 小结

其中的算法乐趣很多，有兴趣的可以找资料来看看。

高斯的大白话：

    迄至目前为止，人们对于虚数的考虑，依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，
    以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇色彩。
  我认为只要不把+1、-1、i 叫做正一、负一和虚一，
  而称之曰向前一，反向一和侧向一，那么这层朦胧而神奇的色彩即可消失。

此后，人们才接受了复平面的思想，有些人还把复平面称为高斯平面。

利用复数的几何表示法，复数又可以用坐标平面上的向量来表示，两个复数相加可以按照向量加法的平行四边形法则来进行，一个复数乘以i（或-i）相当于表示此复数的向量逆（或顺）时针旋转90。

这就使得物理上的许多向量：力、速度、加速度等等，都可以借助于复数来进行计算，使复数成为物理学和其他自然科学的重要工具

代码路径

https://github.com/hahamx/examples/blob/main/alg_practice/0_mandebot/main.go