高精度运算
高精度运算是指在计算机编程中，对超出常规数据类型（如整型、浮点型）所能表示范围的极大或极精确数值进行的各种数学运算。在标准的计算机编程语言中，内置的整数和浮点数类型有其固定的字节数和精度限制，一旦数字过大或精度过高，就会导致溢出或精度丢失的问题。
高精度运算通过创建一种自定义数据结构（如数组或动态链表）来存储极大数值的每一位，从而实现对大整数、大浮点数或任意精度数的加、减、乘、除以及其他高级运算。这种数据结构能够模拟人类手算时多位数列的运算规则，使得在理论上能够处理任意长度和精度的数字。
例如，在C++中，处理高精度数值（即任意长度的大整数）时，可以使用动态数组（std::vector<int> 或 std::deque<char>）来分别存储每一位数字，然后编写专门的函数来实现高精度数的加法、减法、乘法和除法等运算。
高精度加法
#include <iostream> #include <vector> // 定义高精度整数类 class BigInteger { public: std::vector<int> digits; BigInteger(const std::string &str) { for (char c : str) { digits.push_back(c - '0'); } reverse(digits.begin(), digits.end()); } // 加法函数 BigInteger operator+(const BigInteger &other) const { BigInteger result; result.digits.resize(std::max(digits.size(), other.digits.size()) + 1, 0); int carry = 0; for (size_t i = 0; i < digits.size() || i < other.digits.size() || carry; ++i) { int sum = carry; if (i < digits.size()) sum += digits[i]; if (i < other.digits.size()) sum += other.digits[i]; result.digits[i] = sum % 10; carry = sum / 10; } while (!result.digits.empty() && !result.digits.back()) { result.digits.pop_back(); } return result; } }; int main() { BigInteger a("123456789"); BigInteger b("987654321"); BigInteger sum = a + b; // 输出结果，这里需要添加反转输出逻辑 return 0; }
高精度减法
BigInteger BigInteger::operator-(const BigInteger &other) const { BigInteger result; size_t maxLen = std::max(digits.size(), other.digits.size()); result.digits.resize(maxLen, 0); bool borrow = false; for (size_t i = 0; i < maxLen; ++i) { int difference = borrow ? digits[i] - 1 : digits[i]; if (i < digits.size()) { difference -= (i < other.digits.size()) ? other.digits[i] : 0; } borrow = difference < 0; difference = (borrow ? difference + 10 : difference); result.digits[i] = difference; } // 清理前导零 while (!result.digits.empty() && !result.digits.back()) { result.digits.pop_back(); } return result; }
高精度乘法
BigInteger BigInteger::operator*(const BigInteger &other) const { BigInteger result; result.digits.resize(digits.size() + other.digits.size(), 0); // 模拟竖式乘法，从低位到高位 for (size_t i = 0; i < digits.size(); ++i) { for (size_t j = 0; j < other.digits.size(); ++j) { int product = digits[i] * other.digits[j]; int index = i + j; result.digits[index] += product; // 进位处理 while (result.digits[index] >= 10) { result.digits[index] %= 10; if (index + 1 < result.digits.size()) { result.digits[index + 1]++; } else { result.digits.push_back(1); } } } } // 清理前导零 while (!result.digits.empty() && !result.digits.back()) { result.digits.pop_back(); } return result; } // 示例： BigInteger product = a * b;
高精度除法
// 由于高精度除法较为复杂，这里仅简述思路，实际实现可能需要更复杂的算法，如长除法或更高效的算法如Karatsuba算法等 BigInteger BigInteger::divide(const BigInteger &divisor) const { // 先检查除数是否为0，如果是则抛出异常或错误处理 if (divisor == BigInteger(0)) throw std::invalid_argument("Divide by zero"); BigInteger quotient, remainder(*this); quotient.digits.clear(); while (remainder >= divisor) { int shift = remainder.digits.size() - divisor.digits.size(); BigInteger trialDivisor(divisor); trialDivisor.digits.resize(shift + divisor.digits.size(), 0); BigInteger maxDivisible = remainder / trialDivisor; // 更新商和余数 quotient.digits.insert(quotient.digits.begin(), maxDivisible.digits.begin(), maxDivisible.digits.end()); remainder -= maxDivisible * divisor; } return quotient; } // 示例： BigInteger quotient = a.divide(b);
除法部分的实现可能是最复杂的，通常涉及到更复杂的迭代或递归算法。同时，在实际工程中，为了提高效率，还可能需要实现快速模幂、快速乘等高效算法。
