一、并查集的原理
1、并查集的本质和概念
（1）本质
并查集的本质：森林。
（2）概念
在一些应用问题中，需要将 n 个不同的元素划分成一些不相交的集合。
开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集（union-find set）。
比如：某公司今年校招，在全国总共招生 10 人，广州招 4 人，深圳招 3 人，东莞招 3 人，10 个人来自不同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体。
现给这些学生进行编号：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个数。
（初始状态为 -1 ，表示 10 棵树，即每个学生是一个独立的集合）
（跟堆类似，用下标表示关系，双亲表示法）
毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：广州学生小分队 s1={0,6,7,8}，深圳学生小分队 s2={1,4,9}，东莞学生小分队 s3={2,3,5} 就相互认识了，10 个人形成了三个小团体。
假设右三个群主 0, 1, 2 担任队长，负责大家的出行。
一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈。
从上图可以看出：
- 编号 6, 7, 8 同学属于 0 号小分队，该小分队中有 4 人（包含队长 0）；
- 编号为 4和 9 的同学属于 1 号小分队，该小分队有 3 人（包含队长 1）；
- 编号为 3 和 5 的同学属于 2 号小分队，该小分队有 3 个人（包含队长 1）。
仔细观察数组中内融化，可以得出以下结论：
- 数组的下标对应集合中元素的编号。
- 数组中如果为负数，负号代表根，数字的绝对值代表该集合中元素个数。
- 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标。
2、并查集的应用
在公司工作一段时间后，广州小分队中 8 号同学与深圳小分队 1 号同学奇迹般的走到了一起，两个小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子：
现在 0 集合有 7 个人，2 集合有 3 个人，总共两个朋友圈。
通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：
（1）查找元素属于哪个集合
沿着数组表示树形关系以上一直找到根（即：树中中元素为负数的位置）。
（2）查看两个元素是否属于同一个集合
沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在。
（3）将两个集合归并成一个集合
将两个集合中的元素合并将一个集合名称改成另一个集合的名称。
（4）统计集合的个数
遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。
二、并查集的实现
class UnionFindSet { public: UnionFindSet(size_t n) :_ufs(n, -1) {} // 初始时，将数组中元素全部设置为1 void Union(int x1, int x2) { int root1 = FindRoot(x1); int root2 = FindRoot(x2); // 如果x1已经与x2在同一个集合就不需要合并了 if (root1 == root2) return; // 控制数据量小的往大的集合合并 if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2])) swap(root1, root2); // 将两个集合中元素合并 _ufs[root1] += _ufs[root2]; // 将其中一个集合名称改变成另外一个 _ufs[root2] = root1; } // 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称 int FindRoot(int x) { int root = x; // 如果数组中存储的是负数，找到，否则一直继续 while (_ufs[root] >= 0) { root = _ufs[root]; } //路径压缩 while (_ufs[x] >= 0) { int parent = _ufs[x]; _ufs[x] = root; x = parent; } return root; } bool InSet(int x1, int x2) { return FindRoot(x1) == FindRoot(x2); } // 数组中负数的个数，即为集合的个数 size_t SetSize() { size_t size = 0; for (size_t i = 0; i < _ufs.size(); i++) { if (_ufs[i] < 0) { size++; } } return size; } private: vector<int> _ufs; };
