大数乘法的几种算法分析及比较（2014腾讯南京笔试题）

1.题目

      编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。

2.题目分析

      该题相继被ACM、华为、腾讯等选作笔试、面试题，若无准备要写出这种程序，还是要花一定的时间的。故，觉得有必要深入研究一下。搜索了网上的大多数该类程序和算法，发现，大数乘法主要有模拟手工计算的普通大数乘法，分治算法和FFT算法。其中普通大数乘法占据了90%以上，其优点是空间复杂度低，实现简单，时间复杂度为O（N²），分治算法虽然时间复杂度降低为,  

       普通大数乘法算法，主要有逐位相乘处理进位法、移位进位法，下面对其进行介绍并优化。

3.题目解答

3.1 逐位相乘处理进位法

       参考博客4的思路

      乘积是逐位相乘，也就是aibj，结果加入到积C的第i+j位，最后处理进位即可，例如：A =17 = 1*10 + 7 = （7,1）最后是十进制的幂表示法，幂次是从低位到高位，以下同。B=25 = 2*10 + 5 = (5, 2);C = A * B = (7 * 5, 1 * 5 + 2 * 7, 1 * 2) = (35, 19, 2) = (5, 22, 2) = (5, 2. 4)=425。

原博客的思路为：
（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

    原博客中采用指针参数传递，字符串长度有限制，改为通过string传参数，按原思路编程如下：

头文件和数据结构：

[cpp]  view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <string>  
3. #include <vector>  
4. #include <stdlib.h>  
5. using namespace std;  
6. struct bigcheng  
7. {  
8.    vector<int> a;  
9.    vector<int> b;  
10.    string result_str;  
11. };  
12. void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng);//字符串转换为数字并反转  
13. void multiply(bigcheng &tempchengh,vector<int> &result_num);//逐位相乘,处理进位消除多余的0  
14. void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num);//将计算结果转换为字符串并反转  

（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；

[cpp]  view plain copy

1. void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng)  
2. {  
3.    int size_a=a.size();  
4.    int size_b=b.size();  
5.    for (int i=size_a-1;i>=0;i--)  
6.    {  
7.        tempcheng.a.push_back(a[i]-'0');  
8.    }  
9.    for (int i=size_b-1;i>=0;i--)  
10.    {  
11.        tempcheng.b.push_back(b[i]-'0');  
12.    }  
13. }  

（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；

（3）处理进位，消除多余的0；代码为：

[cpp]  view plain copy

1. void multiply(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)  
2. {  
3.    for (unsigned int i=0;i<tempcheng.a.size();i++)  
4.    {  
5.        for (unsigned int j=0;j<tempcheng.b.size();j++)  
6.        {  
7.            result_num[i+j]+=(tempcheng.a[i])*(tempcheng.b[j]);  
8.        }  
9.    }  
10.    for (int i=result_num.size()-1;i>=0;i--)  
11.    {  
12.        if (result_num[i]!=0)  
13.        {  
14.            break;  
15.        }  
16.        else  
17.            result_num.pop_back();  
18.    }  
19.    int c=0;  
20.    for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)//处理进位  
21.    {  
22.        result_num[i]+=c;  
23.        c=result_num[i]/10;  
24.        result_num[i]=result_num[i]%10;  
25.    }  
26.    if (c!=0)  
27.    {  
28.        result_num.push_back(c);  
29.    }  
30. }  

（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。

[cpp]  view plain copy

1. void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)  
2. {   int size=result_num.size();  
3.    for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)  
4.    {  
5.        tempcheng.result_str.push_back(char(result_num[size-1-i]+'0'));  
6.    }  
7. }  

主函数为：

[cpp]  view plain copy

1. int main()  
2. {  
3.       bigcheng tempcheng;  
4.    string a,b;  
5.    cin>>a>>b;  
6.    chartonum(a,b,tempcheng);  
7.    vector<int> resultnum(a.size()+b.size(),0);  
8.    multiply(tempcheng,resultnum);  
9.    numtochar(tempcheng,resultnum);  
10.    cout<<tempcheng.result_str<<endl;  
11.    system("pause");  
12.    return 0;  
13. }  

    上面的思路还是很清晰的，但代码有些过长，考虑优化如下：

（1）上述思路是先转换反转，其实无需先将全部字符串转换为数字的，可即用即转，节约空间；

（2）无需等到逐位相乘都结束，才处理进位，可即乘即进；

（3）无需等到所有结果出来后，将结果转换为字符，可即乘即转。

    优化后时间复杂度不变，但节省了空间，代码更简洁。如下：

头文件和数据结构：

[cpp]  view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <string>  
3. #include <vector>  
4. #include <stdlib.h>  
5. #include <assert.h>  
6. using namespace std;  
7. struct bigcheng2  
8. {  
9.    string a;  
10.    string b;  
11.    string result_str;  
12. };  
13. void reverse_data( string &data)；//字符串反转  
14. void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2);//字符串模拟相乘  

字符串反转：

[cpp]  view plain copy

1. void reverse_data( string &data)  
2. {  
3.    char temp = '0';  
4.    int start=0;  
5.    int end=data.size()-1;  
6.    assert( data.size()&& start <= end );  
7.    while ( start < end )  
8.    {  
9.        temp = data[start];  
10.        data[start++] = data[end];  
11.        data[end--] = temp;  
12.    }  
13. }  

两数相乘：

[cpp]  view plain copy

1. void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2)  
2. {  
3.    reverse_data(tempcheng2.a);//字符串反转  
4.    reverse_data(tempcheng2.b);  
5.    int c=0;  
6.    string temp(tempcheng2.a.size()+tempcheng2.b.size(),'0');//将temp全部初始化为0字符  
7.    for (unsigned int i=0;i<tempcheng2.a.size();i++)  
8.    {  
9.        unsigned int j;  
10.        for (j=0;j<tempcheng2.b.size();j++)  
11.        {  
12.            c+=temp[i+j]-'0'+(tempcheng2.a[i]-'0')*(tempcheng2.b[j]-'0');//注意temp[i+j]可能保存有上一次计算的结果  
13.            temp[i+j]=(c%10)+'0';//将结果转换为字符  
14.            c=c/10;  
15.        }  
16.        while(c)  
17.        {  
18.            temp[i+j++]+=c%10;//temp里已存字符  
19.            c=c/10;  
20.        }  
21.    }  
22.    for (int i=temp.size()-1;i>=0;i--)  
23.    {  
24.        if (temp[i]!='0')  
25.            break;  
26.        else  
27.            temp.pop_back();  
28.    }  
29.    reverse_data(temp);//结果?字Á?符¤?串ä?反¤¡ä转Áa  
30.    tempcheng2.result_str=temp;  
31. }  

主函数：

[cpp]  view plain copy

1. int main()  
2. {  
3.       bigcheng2 tempcheng2;  
4.       string a,b;  
5.       cin>>a>>b;  
6.       tempcheng2.a=a;  
7.       tempcheng2.b=b;  
8.       multiply2(tempcheng2);  
9.       cout<<tempcheng2.result_str<<endl;  
10.       system("pause");  
11.       return 0;  
12. }  

3.2 移位进位法

      移位进位法也是普通的大数相乘算法，其时间复杂度也为O（N²）其基本思路参考博客5，简述如下：

　　按照乘法的计算过程来模拟计算：

　　　　   1 2

　　　　× 3 6

　　 ---------- ---- 其中，上标数字为进位数值。

　　　　　7¹ 2  --- 在这个计算过程中，2×6=12。本位保留2，进位为1.这里是一个简单的计算过程，如果在高位也需要进位的情况下，如何处理？

　　　　3 6

　   -----------

　　　　4¹3  2

       其代码优化如下：

[cpp]  view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <string>  
3. #include <vector>  
4. #include <stdlib.h>  
5. #include <assert.h>  
6. using namespace std;  
7. void reverse_data( string &data);//字符串反转  
8. void compute_value( string lhs,string rhs,string &result );  
9. void reverse_data( string &data)  
10. {  
11.    char temp = '0';  
12.    int start=0;  
13.    int end=data.size()-1;  
14.    assert( data.size()&& start <= end );  
15.    while ( start < end )  
16.    {  
17.        temp = data[start];  
18.        data[start++] = data[end];  
19.        data[end--] = temp;  
20.    }  
21. }  
22. void compute_value( string lhs,string rhs,string &result )  
23. {  
24.    reverse_data(lhs);  
25.    reverse_data(rhs);  
26.    int i = 0, j = 0, res_i = 0;  
27.    int tmp_i = 0;  
28.    int carry = 0;  
29.  
30.    for ( i = 0; i!=lhs.size(); ++i, ++tmp_i )  
31.    {  
32.        res_i = tmp_i;  //在每次计算时，结果存储的位需要增加  
33.        for ( j = 0; j!= rhs.size(); ++j )  
34.        {  
35.            carry += ( result[res_i] - '0' )+(lhs[i] - '0') * (rhs[j] - '0');//此处注意，每次计算并不能保证以前计算结果的进位都消除， 并且以前的计算结果也需考虑。  
36.            result[res_i++] = ( carry % 10 + '0' );  
37.            carry /= 10;  
38.        }  
39.        while (carry)//乘数的一次计算完成，可能存在有的进位没有处理  
40.        {  
41.            result[res_i++] = (carry % 10 + '0');  
42.            carry /= 10;  
43.        }  
44.    }  
45.    for (int i=result.size()-1;i>=0;i--)  
46.    {  
47.        if (result[i]!='0')  
48.            break;  
49.        else  
50.            result.pop_back();  
51.    }  
52.        reverse_data(result);  
53. }  
54. int main()  
55. {  
56.    string a,b;  
57.    cin>>a>>b;  
58.    string result(a.size()+b.size(),'0');  
59.    compute_value(a,b,result);  
60.    cout<<result<<endl;  
61.    system("pause");  
62.    return 0;  
63. }  

3.3大数相乘优化

3.2 移位进位法中的反转字符串其实不必要的，只需从数组的后面开始计算存储即可，下面实现代码：

[cpp]  view plain copy

1. char* bigcheng1(char *p1,char *p2)  
2. {  
3.    if (check(p1)||check(p2))  
4.        throw exception("Invalid input!");  
5.    int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3,carry=0;  
6.    char *p3=new char[index1+index2+3];  
7.    memset(p3,'0',index1+index2+2);  
8.    p3[index1+index2+2]='\0';  
9.    for (;index2>=0;--index2)  
10.    {  
11.        for (index1=strlen(p1)-1;index1>=0;--index1)  
12.        {  
13.            int num=p3[index1+index2+1]-'0'+(p1[index1]-'0')*(p2[index2]-'0')+carry;//p3[index1+index2+1]-'0',注意都是数字参与运算  
14.            p3[index1+index2+1]=num%10+'0';  
15.            carry=num/10;  
16.        }  
17.        int i=0;  
18.        while(carry)  
19.        {  
20.            p3[index1+index2+1+(i--)]+=(carry%10);//注意字符和字符串的不同  
21.            carry/=10;  
22.        }  
23.        index3=index1+index2+1+i;  
24.    }  
25.    while(index3>=0)  
26.        p3[index3--]='0';  
27.    return p3;  
28. }  

或者下面这样，其实是一样的，下面的相加、相减、相除一样的思路啦

[cpp]  view plain copy

1. char* bigcheng(char *p1,char *p2)  
2. {  
3.    if (check(p1)||check(p2))  
4.        throw exception("Invalid input!");  
5.    int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3,carry=0;  
6.    char *p3=new char[index1+index2+3];  
7.    memset(p3,'0',index1+index2+2);  
8.    p3[index1+index2+2]='\0';  
9.    for (;index2>=0;--index2)  
10.    {  
11.        for (index1=strlen(p1)-1;index1>=0;--index1)  
12.        {  
13.            int num=p3[index1+index2+1]-'0'+(p1[index1]-'0')*(p2[index2]-'0')+carry;//p3[index1+index2+1]-'0',注意都是数字参与运算  
14.            if (num>=10)  
15.            {  
16.                carry=num/10;  
17.                num%=10;  
18.            }  
19.            else carry=0;  
20.            p3[index1+index2+1]=num+'0';  
21.        }  
22.        int i=0;  
23.        while(carry)  
24.        {  
25.            p3[index1+index2+1+(i--)]+=(carry%10);//注意字符和字符串的不同  
26.            carry/=10;  
27.        }  
28.        index3=index1+index2+1+i;  
29.    }  
30.    while(index3>=0)  
31.        p3[index3--]='0';  
32.    return p3;  
33. }  

3.4运行结果

       运行结果如图1、图2所示

 

                   图1    

                                                                   图2

3.5 大数相加

check合法性校验，校验字符串中是否有非数字。

[cpp]  view plain copy

1. bool check(char *p)  
2. {  
3.    if (!p)  
4.    {  
5.        return 1;  
6.    }  
7.    int i=0;  
8.    while(p[i]!='\0')  
9.    {  
10.        if (p[i]<'0'||p[i]>'9')  
11.        {  
12.            return 1;  
13.        }  
14.        else ++i;  
15.    }  
16.    return 0;//合法  
17. }  

[cpp]  view plain copy

1. char* bigadd(char *p1,char *p2)  
2. {  
3.    if (check(p1)||check(p2))  
4.    {  
5.        throw exception("Invalid input!");  
6.    }  
7.    int len1=strlen(p1);  
8.    int len2=strlen(p2);  
9.    int len3=max(len1,len2)+1;  
10.    char *p3=new char[len3+1];  
11.    memset(p3,'0',len3);  
12.    p3[len3]='\0';  
13.    int index1=len1-1,index2=len2-1,index3=len3-1;  
14.    int carry=0;  
15.    while(index1>=0&&index2>=0)  
16.    {  
17.        int num=p1[index1--]-'0'+p2[index2--]-'0'+carry;  
18.        if (num>=10)  
19.        {  
20.            carry=1;  
21.            num-=10;  
22.        }  
23.        else  
24.            carry=0;  
25.        p3[index3--]=num+'0';  
26.    }  
27.    while(index1>=0)  
28.    {  
29.        int num=p1[index1--]-'0'+carry;  
30.        if (num>=10)  
31.        {  
32.            carry=1;  
33.            num-=10;  
34.        }  
35.        else  
36.            carry=0;  
37.        p3[index3--]=num+'0';  
38.    }  
39.    while(index2>=0)  
40.    {  
41.        int num=p1[index2--]-'0'+carry;  
42.        if (num>=10)  
43.        {  
44.            carry=1;  
45.            num-=10;  
46.        }  
47.        else  
48.            carry=0;  
49.        p3[index3--]=num+'0';  
50.    }  
51.    p3[index3]=carry?'1':'0';  
52.    return p3;  
53. }  

3.6大数相减

[cpp]  view plain copy

1. char* bigminus(char *p1,char *p2,bool &flag)  
2. {  
3.    if (check(p1)||check(p2))  
4.    {  
5.        throw exception("Invalid input!");  
6.    }  
7.    flag=0;//正数默认  
8.    if (strlen(p1)<strlen(p2))  
9.    {  
10.        flag=1;  
11.        char *tmp=p1;  
12.              p1=p2;  
13.              p2=tmp;  
14.    }  
15.    else if (strlen(p1)==strlen(p2))  
16.    {  
17.        if (strcmp(p1,p2)<0)  
18.        {  
19.            flag=1;  
20.            char *tmp=p1;  
21.            p1=p2;  
22.            p2=tmp;  
23.        }  
24.    }  
25.    int index1=strlen(p1)-1,index2=strlen(p2)-1,index3=strlen(p1);  
26.    char *p3=new char[strlen(p1)+2];  
27.    memset(p3,'0',index3+1);  
28.    p3[index3+1]='\0';  
29.    int carry=0;  
30.    while(index1>=0&&index2>=0)  
31.    {  
32.        int num=p1[index1--]-p2[index2--]-carry;  
33.        if (num<0)  
34.        {  
35.            carry=1;  
36.            num+=10;  
37.        }  
38.        else carry=0;  
39.        p3[index3--]=num+'0';  
40.    }  
41.    while(index1>=0)  
42.    {  
43.        int num=p1[index1--]-'0'-carry;  
44.        if (num<0)  
45.        {  
46.            carry=1;  
47.            num+=10;  
48.        }  
49.        else carry=0;  
50.        p3[index3--]=num+'0' ;  
51.    }  
52.        int i=0;  
53.        while(p3[i]=='0') ++i;  
54.        if (flag)  
55.        {  
56.          p3[i-1]='-';  
57.        }  
58.    return p3;  
59. }  

3.7大数相除

[cpp]  view plain copy

1. char* bigchu(char *p1,char *p2)//大数除，有问题，但思想是对的，关键怎么处理前面多样的0  
2. {  
3.    bool flag=0;  
4.    char *tmp1=new char[strlen(p2)-strlen(p2)+1];  
5.    char *tmp0=tmp1,*p3,*p4;  
6.    memset(tmp1,'0',strlen(p2)-strlen(p2));  
7.    tmp1[strlen(p2)-strlen(p2)]='\0';  
8.    char *tmp2=bigminus(p1,p2,flag);  
9.          p1=tmp2;  
10.    while(!flag)  
11.    {  
12.  
13.        p3=bigadd(tmp0,"1");  
14.        tmp1=tmp0;  
15.        tmp0=p3;          
16.        delete []tmp1;  
17.  
18.        tmp2=bigminus(p1,p2,flag);  
19.        p4=p1;  
20.        p1=tmp2;  
21.        delete []p4;  
22.    }  
23.    return tmp0;  
24.      
25. }  

3.8主函数测试

[cpp]  view plain copy

1. int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  
2. {  
3.    string a,b;  
4.    while(1)  
5.    {  
6.        cin>>a>>b;  
7.        char *p1=const_cast<char *>(a.c_str());  
8.        char *p2=const_cast<char *>(b.c_str());  
9.        bool flag=0;  
10.        char *p3=bigadd(p1,p2);  
11.        char *p4=bigminus(p1,p2,flag);  
12.        char *p5=bigcheng1(p1,p2);  
13.        //char *p6=bigchu(p1,p2);  
14.  
15.        //cout<<p3<<endl<<endl<<p4<<endl<<endl<<p5<<endl<<endl;  
16.        cout<<p1<<endl<<"bigadd"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";  
17.        printnum(p3);  
18.        cout<<endl;  
19.        cout<<p1<<endl<<"bigminus"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";  
20.        printnum(p4);  
21.        cout<<endl;  
22.        cout<<p1<<endl<<"bigcheng1"<<endl<<p2<<endl<<"equal: ";  
23.        printnum(p5);  
24.        cout<<endl;  
25.    }  
26.    system("pause");  
27.    return 0;  
28. }  

测试结果如下：