现代密码学 考点汇总（上）

写在最前面

字数超了，只能分为为两部分

很好，完美避开所有考点

考试范围

一、给一个简单的方案，判断是否cca安全

判断方式：要么证明是cca安全（通过规约），要么找一个攻击方式去攻击

一样一个题

1、对称加密、

2、消息认证码MAC

3、哈希函数、

4、非对称的多样加密的方案

【数字签名不考，因为和mac功能和证明方式、实验都类似】

二、随机预言机模型之下的简单应用

随机预言机性质、随机预言机模型之下的简单应用

性质之下构造函数的性质

笔记汇总

0. 规约证明

24. 规约证明

• 我们现在站在敌手的角色来思考，希望解决“破解”加密方案这个问题，并且在此之前我们已经知道有个一“假设”问题是不可解决的；
• 为了证明一个加密方案Π \PiΠ在假设X XX下是安全的，就是证明“破解”问题不可解。
• 将解决“假设”X XX问题的算法A ′ \mathcal{A}'A′规约到“破解”Π \PiΠ的算法A \mathcal{A}A。如果加密方案可以被破解，则假设问题也可以解决。然而，由于假设问题是难以解决的，这导致矛盾，说明加密方案不可以被破解。
• 先令一个概率多项式时间的算法A \mathcal{A}A能够以概率ε ( n ) \varepsilon(n)ε(n)破解Π \PiΠ ；
• 假设：一个问题X XX是难以解决的，即不存在多项式时间算法来解决X XX；A ′ \mathcal{A}'A′是一个解决X XX的概率算法；
• 规约：解决假设问题X XX可以通过破解加密方案Π \PiΠ，即将A ′ \mathcal{A}'A′规约到A \mathcal{A}A，A ′ \mathcal{A}'A′通过以A \mathcal{A}A作为子函数可以以概率1 / p ( n ) 1/p(n)1/p(n)有效地解决问题X XX；
• 矛盾：若加密方案可以被有效破解，即ε ( n ) \varepsilon(n)ε(n)是不可忽略的，则A ′ \mathcal{A}'A′可以以不可忽略的概率ε ( n ) / p ( n ) \varepsilon(n)/p(n)ε(n)/p(n)解决问题X XX，这与假设矛盾，因而ε ( n ) \varepsilon(n)ε(n)一定是可忽略的。

一个规约法证明PRG（伪随机生成器）的例子

25. 一个规约法证明PRG的例子

• 假设F FF是PRG，证明G GG也是PRG。
  
• 问题A：如何区分F FF；问题B：如何区分G GG；
  
• 从A规约到B：区分F FF的算法输入按位取反后作为区分G GG的算法输入，区分G GG的算法输出作为区分F FF的算法输出。
  
  
  
• 由此，建立了不可区分定义中概率的联系。
  

定长加密方案，并证明不可区分加密方案

27. 一个安全的定长加密方案

• ∣ G ( k ) ∣ = ℓ ( ∣ k ∣ ) |G(k)| = \ell(|k|)∣G(k)∣=ℓ(∣k∣), m ∈ { 0 , 1 } ℓ ( n ) m \in \{0,1\}^{\ell(n)}m∈{0,1}ℓ(n)， 一个PRG以长度为n nn的密钥作为种子，输出与明文相同长度的pad；
• G e n \mathsf{Gen}Gen: k ∈ { 0 , 1 } n k \in \{0,1\}^nk∈{0,1}n，密钥作为种子，长度小于明文长度；
• E n c \mathsf{Enc}Enc: c : = G ( k ) ⊕ m c := G(k)\oplus mc:=G(k)⊕m，加密方法和一次一密一样；
• D e c \mathsf{Dec}Dec: m : = G ( k ) ⊕ c m := G(k)\oplus cm:=G(k)⊕c，解密也是；
• 定理：该定长加密方案是窃听下不可区分的。
• 直觉上，这个方案和一次一密是类似的，除了密钥更短并且用伪随机生成器生成的比特串来与明文异或。因为伪随机对于任何敌手都可以认为是真随机，所以对于敌手而言，该方案与一次一密是一样的。由此，我们得到了一个安全的加密方案，同时避免了一次一密的最大局限性——密钥过长。

28. 证明不可区分加密方案

• 思路：区分伪随机性为难题假设，破解加密方案为规约的子函数。针对伪随机生成器G GG的区分器D DD以A \mathcal{A}A为子函数，使得当A \mathcal{A}A破解了Π \PiΠ则D DD可以区分出G GG，与G GG的伪随机性矛盾。注意这里我们用了符号Π ~ \tilde{\Pi}Π~来表示Π \PiΠ的一个变体，来刻画加密方案中可能使用了真随机串来加密；
• 回顾针对伪随机生成器的区分器D DD的问题是，输入一个串w ww，输出一个比特；这里关键问题是输出的比特从何而来？
• 将D DD规约到A \mathcal{A}A。回顾窃听者不可区分实验中，A \mathcal{A}A与一个挑战者进行3轮交互：

1. A \mathcal{A}A选择两个不同明文m 0 , m 1 m_0, m_1m0,m1，并发送给挑战者；
2. 挑战者生成密钥，并随机挑选一个明文m b m_bmb加密后得到挑战密文c cc，并发送给A \mathcal{A}A；
3. A \mathcal{A}A输出对所加密明文的猜测b ′ b'b′，若b = b ′ b=b'b=b′，则A \mathcal{A}A成功；否则，失败；

• 区分器D DD成为窃听不可区分实验中的挑战者，特别之处在于：在第2步，不需要生成密钥，而是直接以输入串w ww作为pad来加密，c : = w ⊕ m b c := w \oplus m_bc:=w⊕mb；根据w ww的两种可能，分两种情况：

• 当w ww是由G GG生成的，即伪随机串，则c cc就是加密方案Π \PiΠ中密文，A \mathcal{A}A面对的就是Π \PiΠ；
• 当w ww是真随机串，则c cc不同于加密方案Π \PiΠ中密文，而与一次一密中一样，A \mathcal{A}A面对的就是Π ~ \tilde{\Pi}Π~一次一密；

• 回答前面关于D DD输出什么的问题：破解加密方案的A \mathcal{A}A成功时，D DD输出1；否则，D DD输出0。

29. 证明不可区分加密方案（续）

• 规约完毕，证明A \mathcal{A}A在实验中成功的概率是可忽略的

• 当w ww为真随机串r rr，就是一次一密，Pr ⁡ [ D ( r ) = 1 ] = Pr ⁡ [ P r i v K A , Π ~ e a v ( n ) = 1 ] = 1 2 \Pr[D(r)=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}^{\mathsf{eav}}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi}}(n)=1]=\frac{1}{2}Pr[D(r)=1]=Pr[PrivKA,Π~eav(n)=1]=21；
• 当w ww为伪随机串G ( k ) G(k)G(k)，Pr ⁡ [ D ( G ( k ) ) = 1 ] = Pr ⁡ [ P r i v K A , Π e a v ( n ) = 1 ] = 1 2 + ε ( n ) \Pr[D(G(k))=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}^{\mathsf{eav}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)=1] = \frac{1}{2} + \varepsilon(n)Pr[D(G(k))=1]=Pr[PrivKA,Πeav(n)=1]=21+ε(n)；
• 根据伪随机生成器定义，上下两个公式相减，∣ Pr ⁡ [ D ( r ) = 1 ] − Pr ⁡ [ D ( G ( k ) ) = 1 ] ∣ = ε ( n ) ≤ n e g l ( n ) \left|\Pr[D(r)=1] - \Pr[D(G(k))=1]\right| = \varepsilon(n) \le \mathsf{negl}(n)∣Pr[D(r)=1]−Pr[D(G(k))=1]∣=ε(n)≤negl(n)；
• 所以ε ( n ) \varepsilon(n)ε(n)是可忽略的，即Π \PiΠ是窃听者不可区分的。

• 小结：通过规约将A \mathcal{A}A的不可区分实验成功的概率与D DD的区分器实验输出1的概率建立等式；分析输入真随机串时D DD输出1的概率（即不可区分实验成功概率）是1/2；根据PRG的定义，输入伪随机串时D DD输出1的概率（1/2+ε ( n ) \varepsilon(n)ε(n)）与输入真随机串时D DD输出1的概率（1/2）的差异时可忽略的。

CCA安全加密方案

32. 选择密文攻击Chosen-Ciphertext Attacks (CCA)

• CCA不可区分实验P r i v K A , Π c c a ( n ) \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)PrivKA,Πcca(n):

1. 挑战者生成密钥 k ← G e n ( 1 n ) k \gets \mathsf{Gen}(1^n)k←Gen(1n)；（为了下一步的预言机）
2. A \mathcal{A}A 被给予输入 1 n 1^n1n 和对加密函数 E n c k ( ⋅ ) \mathsf{Enc}_k(\cdot)Enck(⋅)和解密函数D e c k ( ⋅ ) \mathsf{Dec}_k(\cdot)Deck(⋅)的预言机访问（oracle access） A E n c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Enc}_k(\cdot)}AEnck(⋅) 和 A D e c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Dec}_k(\cdot)}ADeck(⋅)，输出相同长度 m 0 , m 1 m_0, m_1m0,m1 ；
3. 挑战者生成随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\}b←{0,1}，将挑战密文 c ← E n c k ( m b ) c \gets \mathsf{Enc}_k(m_b)c←Enck(mb) 发送给 A \mathcal{A}A；
4. A \mathcal{A}A 继续对除了挑战密文c cc之外的预言机的访问，输出b ′ b'b′；如果b ′ = b b' = bb′=b，则A \mathcal{A}A成功P r i v K A , Π c c a = 1 \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}=1PrivKA,Πcca=1，否则 0。

• 定义：一个加密方案是CCA安全的，如果实验成功的概率与1/2的差异是可忽略的。
  

33. 理解CCA安全

• 在现实世界中，敌手可以通过影响被解密的内容来实施CCA。如果通信没有认证，那么敌手可以以通信参与方的身份来发送特定密文。
  
• CCA安全性意味着“non-malleability”（不可锻造性，即改变但不毁坏），不能修改密文来获得新的有效密文。
  
• 之前的方案中没有CCA安全，因为都不是不可锻造。
  
• 对基于PRF的CPA安全加密方案的CCA攻击：

• A \mathcal{A}A 获得挑战密文 c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right>c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩，并且查询与c cc只相差了一个翻转的比特的密文c ′ c'c′，那么
  m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r)m′=c′⊕Fk(r) 应该与 m b m_{b}mb 除了什么之外都相同？（见下方补充）
  

• 问题：上述操作模式也不是CCA安全的（作业）
  
• 由此，可以总结出CCA下敌手的常用策略：

• 修改挑战密文c cc为c ′ c'c′，并查询解密预言机得到m ′ m'm′
• 根据关系，由m ′ m'm′来猜测被加密明文m b m_bmb

补充

在这个情况下，A \mathcal{A}A 获得了挑战密文 c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right>c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩ 并查询了一个只在一个比特上与 c cc 不同的密文 c ′ c'c′。我们来分析一下 m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r)m′=c′⊕Fk(r) 与 m b m_{b}mb 的关系。

首先，我们明确 c cc 的构成：

• c cc 包含两个部分：一个随机数 r rr 和使用密钥 k kk 的函数 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 与明文 m b m_{b}mb 的异或结果。
• 因此，c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right>c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩。

现在，如果 A \mathcal{A}A 查询了一个与 c cc 只在一个比特上不同的密文 c ′ c'c′，那么 c ′ c'c′ 也可以写成两部分，但其中一部分与 c cc 有一个比特的差异。这个差异可以在 r rr 部分，也可以在 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b}Fk(r)⊕mb 部分。

当 A \mathcal{A}A 计算 m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r)m′=c′⊕Fk(r) 时，他们实际上是在解开 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b}Fk(r)⊕mb 的异或操作。这是因为异或操作是可逆的，且当两次使用相同的值时会取消彼此的效果（即 A ⊕ B ⊕ B = A A \oplus B \oplus B = AA⊕B⊕B=A）。

因此，如果 c ′ c'c′ 的变化发生在 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 部分，则 m ′ m'm′ 将与 m b m_{b}mb 完全相同，因为 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 部分的变化被异或操作取消了。但如果变化发生在 r rr 部分，则这个变化不会影响到 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b}Fk(r)⊕mb 部分，因此 m ′ m'm′ 将与 m b m_{b}mb 在一个比特上不同。

综上所述，m ′ m'm′ 与 m b m_{b}mb 将在以下方面相同：

• 如果变化发生在 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 部分，那么 m ′ m'm′ 与 m b m_{b}mb 完全相同。
• 如果变化发生在 r rr 部分，那么 m ′ m'm′ 与 m b m_{b}mb 除了那个翻转的比特之外都相同。

1. 对称加密

CPA安全实验、预言机访问（oracle access）

11. CPA安全实验

• CPA不可区分实验P r i v K A , Π c p a ( n ) \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)PrivKA,Πcpa(n):

1. 挑战者生成密钥 k ← G e n ( 1 n ) k \gets \mathsf{Gen}(1^n)k←Gen(1n)；（这里与窃听者不可区分实验相比，密钥的生成提前了，这是为了下一步提供加密预言机）
2. A \mathcal{A}A 被给予输入 1 n 1^n1n 和对加密函数 E n c k ( ⋅ ) \mathsf{Enc}_k(\cdot)Enck(⋅)的预言机访问（oracle access） A E n c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Enc}_k(\cdot)}AEnck(⋅) ，输出相同长度 m 0 , m 1 m_0, m_1m0,m1 ；
3. 挑战者生成随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\}b←{0,1}，将挑战密文 c ← E n c k ( m b ) c \gets \mathsf{Enc}_k(m_b)c←Enck(mb) 发送给 A \mathcal{A}A；
4. A \mathcal{A}A 继续对 E n c k ( ⋅ ) \mathsf{Enc}_k(\cdot)Enck(⋅)的预言机的访问，输出b ′ b'b′；如果b ′ = b b' = bb′=b，则A \mathcal{A}A成功P r i v K A , Π c p a = 1 \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}=1PrivKA,Πcpa=1，否则 0。

• 敌手对加密函数预言机访问是指，敌手以任意明文作为输入，可以从预言机得到对应密文。此处，密钥是已经提前生成的，因此才能通过加密函数预研机得到密文，但仍对敌手保密。预言机是一个形象的比喻，它是一个黑盒，只接收输入并返回输出；访问者不需要了解其内部构造。
• 该实验与窃听者不可区分实验的区别在于，敌手可访问加密预言机，在实验过程中始终可以，包括在产生两个明文阶段，以及在收到挑战密文后猜测被加密明文阶段，获得任意明文被同一密钥加密的密文；而且密文是逐个获得，可以根据之前的明文和密文对来“适应性地”构造新的查询。
• CPA敌手比多重加密的敌手更“强大”，因为多重加密敌手是可以一次性地获得一组密文，而CPA敌手可以根据已经获得的明文和密文“多次适应性地”再次获得密文。

12. CPA安全

• Π \PiΠ 是CPA不可区分加密方案 (CPA安全的)，如果任意概率多项式时间算法A \mathcal{A}A，存在可忽略的函数n e g l \mathsf{negl}negl使得，
  Pr ⁡ [ P r i v K A , Π c p a ( n ) = 1 ] ≤ 1 2 + n e g l ( n ) \Pr\left[\mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)=1\right] \le \frac{1}{2} + \mathsf{negl}(n)Pr[PrivKA,Πcpa(n)=1]≤21+negl(n)
  
• 定理：CPA安全也是多重加密安全的。证明略。直觉上，CPA敌手比多重加密敌手更强大。
  
• 之前的方案也难以实现CPA安全；
  
• 多重加密安全意味着CPA安全？（作业）显然是否定的。那么，思考两种安全定义的区别成为解题的关键。
  

操作模式

伪随机函数PRF

13. 伪随机函数（Pseudorandom Function）概念

• 为了实现CPA安全，之前的PRG提供的随机性不够用了，需要新的数学工具为加密提供额外的随机性。为此引入伪随机函数（PRF），是对伪PRG的泛化：PRG从一个种子生成一个随机串，PRF从一个key生成一个函数；
• 带密钥的函数Keyed functionF : { 0 , 1 } ∗ × { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ F : \{0,1\}^* \times \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*F:{0,1}∗×{0,1}∗→{0,1}∗

• F k : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ F_k : \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*Fk:{0,1}∗→{0,1}∗, F k ( x ) = def F ( k , x ) F_k(x) \overset{\text{def}}{=} F(k,x)Fk(x)=defF(k,x)
• 两个输入到一个输出，看上去像，但不是加密函数；输入key，得到一个一输入到一输出的函数；

• 查表Look-up tablef ff:{ 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n{0,1}n→{0,1}n需要多少比特信息存储？

• 查表是一个直接描述输入与输出间映射的表格，一个条目对应一个输入与一个输出；当该映射是随机产生的，是一个真随机函数；

• 函数族Function familyF u n c n \mathsf{Func}_nFuncn: 包含所有函数{ 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n{0,1}n→{0,1}n.∣ F u n c n ∣ = 2 n ⋅ 2 n |\mathsf{Func}_n| = 2^{n\cdot2^n}∣Funcn∣=2n⋅2n

• 一个PRF是函数族中一个子集，key确定下的PRF是函数族中一个元素，一个查表是函数族中一个元素；

• 长度保留Length Preserving: ℓ k e y ( n ) = ℓ i n ( n ) = ℓ o u t ( n ) = n \ell_{key}(n) = \ell_{in}(n) = \ell_{out}(n) = nℓkey(n)=ℓin(n)=ℓout(n)=n；密钥长度与函数输入、输出长度相同为n nn；没有特殊说明时，只讨论长度保留的函数；

14. 伪随机函数定义

• 直觉上，一个PRF生成的带密钥的函数与从函数族中随机选择的真随机函数（查表）之间是不可区分的；然而，一个真随机函数具有指数长度，无法“预先生成”，只能“on-the-fly”（边运行、边生成）的使用，引入一个对函数O \mathcal{O}O的确定性的预言机访问（oracle access）D O D^\mathcal{O}DO。
• 这里的预言机是一个抽象的函数。访问预言机，就是给出任意输入，得到该函数的输出。访问预言机的能力不包括了解正在访问的预言机具体内部构造。
• 一个带密钥的函数是一个伪随机函数（PRF），对任意PPT区分器D DD，∣ Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] − Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] ∣ ≤ n e g l ( n ) \left|\Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1]\right| \le \mathsf{negl}(n)Pr[DFk(⋅)(1n)=1]−Pr[Df(⋅)(1n)=1]≤negl(n)，其中f ff是F u n c n \mathsf{Func}_nFuncn中随机函数。

• 这里区分器D DD是一个算法，可以访问预言机，但并不知道预言机背后是什么。
• 这里不可区分性关键是，对真随机查表和伪随机函数，区分器输出相同结果概率的差异。区分器输出1或0本身没有，也无需，有特定语义。

• PRF和PRG的关系在后面会学习，可以由PRG来构造PRF。

PRF例题：一个固定长度的一次一密方案是一个PRF吗？

15. PRF例题

• 问题一个固定长度的一次一密方案是一个PRF吗？
• 对于一个PRF，在密钥保密和没有预言机访问时，给指定输入，能以不可忽略的概率猜测输出相关信息吗？
• 如果是PRF，则给出该函数与查表的相似性；否则，给出一个区分器可以区分出该函数不是随机的。

16. 以PRF实现CPA安全

• 新随机串 r rr，每次新生成一个随机串；
• F k ( r ) F_k(r)Fk(r): ∣ k ∣ = ∣ m ∣ = ∣ r ∣ = n |k| = |m| = |r| = n∣k∣=∣m∣=∣r∣=n. 长度保留；
• G e n \mathsf{Gen}Gen: k ∈ { 0 , 1 } n k \in \{0,1\}^nk∈{0,1}n.
• E n c \mathsf{Enc}Enc: s : = F k ( r ) ⊕ m s := F_k(r)\oplus ms:=Fk(r)⊕m, c : = < r , s > c := \left<r, s\right>c:=⟨r,s⟩. 密文包括两部分新随机串，以及异或输出；
• D e c \mathsf{Dec}Dec: m : = F k ( r ) ⊕ s m := F_k(r)\oplus sm:=Fk(r)⊕s.
• 定理：上述方案是CPA安全的。

从PRF到CPA安全的证明

17. 从PRF到CPA安全的证明

• 思路：从PRF的区分器算法D \mathcal{D}D规约到加密方案敌手算法A \mathcal{A}A，区分器D \mathcal{D}D作为敌手A \mathcal{A}A的挑战者，敌手A \mathcal{A}A实验成功时区分器D \mathcal{D}D输出1。分两种情况，当输入真随机函数f ff时，相当于一次一密；当输入伪随机函数F k F_kFk时，为加密方案。
• 规约：D \mathcal{D}D输入预言机，输出一个比特；A \mathcal{A}A的加密预言机访问通过D \mathcal{D}D的预言机O \mathcal{O}O来提供，c : = < r , O ( r ) ⊕ m > c := \left<r, \mathcal{O}(r) \oplus m \right>c:=⟨r,O(r)⊕m⟩；D \mathcal{D}D输出1，当A \mathcal{A}A在实验中成功。

• 这里有两个预言机：D \mathcal{D}D访问的预言机O \mathcal{O}O，A \mathcal{A}A访问的加密预言机E n c k \mathsf{Enc}_kEnck，后者不能直接访问前者的预言机。

18. 从PRF到CPA安全的证明（续）

• 考虑真随机函数f ff的情况，分析不可区分实验成功概率Pr ⁡ [ P r i v K A , Π ~ c p a ( n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ B r e a k ] \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi}}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \Pr[\mathsf{Break}]Pr[PrivKA,Π~cpa(n)=1]=Pr[Break]。敌手A \mathcal{A}A访问加密预言机可以获得多项式q ( n ) q(n)q(n)个明文与密文对的查询结果并得到随机串和pad{ < r i , f ( r i ) > } \{ \left< r_i, f(r_i) \right> \}{⟨ri,f(ri)⟩}；当收到挑战密文c = < r c , s : = f ( r c ) ⊕ m b > c=\left<r_c, s:=f(r_c)\oplus m_b\right>c=⟨rc,s:=f(rc)⊕mb⟩时，根据之前查询结果中随机串是否与挑战密文中随机串相同，分为两种情况：

• 当有相同随机串时，根据r rr可以得到f ( r c ) f(r_c)f(rc)，m b = f ( r c ) ⊕ s m_b=f(r_c)\oplus smb=f(rc)⊕s，但这种情况发生的概率q ( n ) / 2 n q(n)/2^nq(n)/2n是可忽略的；
• 当没有相同随机串时，输出是随机串，相当于一次一密，成功概率=1/2；

• Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ P r i v K A , Π c p a ( n ) = 1 ] = 1 2 + ε ( n ) . \Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\Pi}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \frac{1}{2} + \varepsilon(n).Pr[DFk(⋅)(1n)=1]=Pr[PrivKA,Πcpa(n)=1]=21+ε(n).
  
• Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ P r i v K A , Π ~ c p a ( n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ B r e a k ] ≤ 1 2 + q ( n ) 2 n . \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi}}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \Pr[\mathsf{Break}] \le \frac{1}{2} + \frac{q(n)}{2^n}.Pr[Df(⋅)(1n)=1]=Pr[PrivKA,Π~cpa(n)=1]=Pr[Break]≤21+2nq(n).
  
• Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] − Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] ≥ ε ( n ) − q ( n ) 2 n . \Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1] \ge \varepsilon(n) - \frac{q(n)}{2^n}.Pr[DFk(⋅)(1n)=1]−Pr[Df(⋅)(1n)=1]≥ε(n)−2nq(n). 根据伪随机函数定义，ε ( n ) \varepsilon(n)ε(n) 是可忽略的.
  
• 小结：通过规约将A \mathcal{A}A的不可区分实验成功的概率与D DD的区分器实验输出1的概率建立等式；分析输入真随机函数预言机时D DD输出1的概率（即不可区分实验成功概率）是1/2+一个可忽略函数；根据PRF的定义，输入伪随机函数预言机时D DD输出1的概率（1/2+ε ( n ) \varepsilon(n)ε(n)）与输入真随机函数预言机时D DD输出1的概率（1/2）的差异时可忽略的。
  

19. CPA安全例题

• E n c k ( m ) = P R G ( k ∥ r ) ⊕ m \mathsf{Enc}_k(m) = PRG(k\|r) \oplus mEnck(m)=PRG(k∥r)⊕m, r rr 是新的随机串。这是CPA安全的吗？
• 从PRF到CPA安全：变长消息
• 对于任意长度消息 m = m 1 , … , m ℓ m = m_1, \dots , m_{\ell}m=m1,…,mℓ，c : = < r 1 , F k ( r 1 ) ⊕ m 1 , r 2 , F k ( r 2 ) ⊕ m 2 , … , r ℓ , F k ( r ℓ ) ⊕ m ℓ > c := \left< r_1, F_k(r_1) \oplus m_1, r_2, F_k(r_2) \oplus m_2, \dots, r_\ell, F_k(r_\ell) \oplus m_\ell\right>c:=⟨r1,Fk(r1)⊕m1,r2,Fk(r2)⊕m2,…,rℓ,Fk(rℓ)⊕mℓ⟩
• 推论：如果F FF是一个 PRF，那么 Π \PiΠ 对任意长度消息是 CPA 安全的。
• 问题：这个方案有什么缺点？
• 有效性: ∣ c ∣ = 2 ∣ m ∣ |c| = 2|m|∣c∣=2∣m∣. 密文长度是明文长度的二倍，并且需要大量的真随机串。

伪随机排列PRP

20. 伪随机排列（Pseudorandom Permutations）

• 为了提高对任意长度消息加密的效率，以及更高级的加密基础工具，学习伪随机排列PRP的概念；
  
• 双射 Bijection: F FF 是一到一的（一个输入对应一个唯一输出）且满射（覆盖输出集中每个元素）；
  
• 排列 Permutation: 一个从一个集合到自身的双射函数；
  
• 带密钥的排列 Keyed permutation: ∀ k , F k ( ⋅ ) \forall k, F_k(\cdot)∀k,Fk(⋅)是排列；类似带密钥的函数；
  
• F FF 是一个双射    ⟺    F − 1 \iff F^{-1}⟺F−1 是一个双射；函数和逆函数都是双射；
  
• 定义：一个有效的带密钥的排列 F FF 是PRP，如果对于任意PPT的区分器D DD，
  ∣ Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) , F k − 1 ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] − Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) , f − 1 ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] ∣ ≤ n e g l ( n ) \left|\Pr[D^{F_k(\cdot),F_k^{-1}(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot),f^{-1}(\cdot)}(1^n)=1]\right| \le \mathsf{negl}(n)Pr[DFk(⋅),Fk−1(⋅)(1n)=1]−Pr[Df(⋅),f−1(⋅)(1n)=1]≤negl(n)
  
• 问题：一个PRP也是一个PRF吗？
  

21. PRP例题

• 对1比特的PRP、PRF的分析；
• 交换引理：如果F FF是一个 PRP 并且ℓ i n ( n ) ≥ n \ell_{in} (n) \ge nℓin(n)≥n，那么F FF也是一个 PRF。

• 一个随机排列和一个查表是不可取分的，PRP和随机排列不可取分，因此，PRP和查表是不可取分的。

22. 操作模式概念（Modes of Operation）

• 操作模式是使用PRP或PRF来加密任意长度消息的方法；
• 操作模式是从PRP或PRF来构造一个PRG的方法；
• 将一个消息分成若干等长的块（分组，block），每个块以相似方式处理；

23. Electronic Code Book (ECB)模式

• 在窃听者出现时，是否是不可区分的？
• F FF 可以是任意PRF吗？

24. 对ECB的攻击

• 为什么仍然可以识别企鹅？

25. Cipher Block Chaining (CBC)模式

• I V IVIV初始向量，一个新的随机串；
• 是CPA的吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？

26. Output Feedback (OFB) Mode模式

• 是CPA安全吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？

27. Counter (CTR) Mode模式

• c t r ctrctr是一个初始向量，并且逐一增加；
• 是CPA安全吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？

28. CTR模式是CPA安全

• 定理：如果F FF是一个PRF，那么随机CTR模式是CPA安全的。
  
• 证明：其安全性与之前基于PRF的CPA安全证明类似，从PRF的伪随机假设规约到CPA安全加密方案。其中，对c t r ctrctr的安全性直觉在于，c t r ctrctr也是在加密前不可预测的，且每个块所用c t r ctrctr都是不同的；
  
• 当加密预言机是由真随机查表构成时，敌手多次访问加密预言机得到的c t r ctrctr序列与挑战密文的c t r ctrctr序列之间有重叠的概率2 q ( n ) 2 2 n \frac{2q(n)^2}{2^n}2n2q(n)2是可以忽略的；若没有重叠，则相当于一次一密；
  
• 规约与之前证明基于PRF的CPA安全加密方案一样，证明过程也类似。
  

29. 初始向量不应该可预测

• 如果I V IVIV是可预测的，那么CBC/OFB/CTR模式不是CPA安全的。
• 为什么？（作业）
• 在SSL/TLS 1.0中的漏洞：记录# i \#i#i的I V IVIV是上一个记录# ( i − 1 ) \#(i-1)#(i−1)的密文块。
• OpenSSL中API：需要用户输入I V IVIV，但I V IVIV应在函数内实现。当I V IVIV不充分随机时不安全。

30. 非确定性加密

• 有三种通用的实现CPA安全的非确定性加密方法：
• 随机化的：r rr随机生成，如构造5；需要更多熵，长密文
• 有状态的：r rr为计数器，如CTR模式；需要通信双方同步计数器
• 基于Nonce的：r rr只用一次；需要保证只用一次，长密文

CCA安全加密方案

32. 选择密文攻击Chosen-Ciphertext Attacks (CCA)

• CCA不可区分实验P r i v K A , Π c c a ( n ) \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)PrivKA,Πcca(n):

1. 挑战者生成密钥 k ← G e n ( 1 n ) k \gets \mathsf{Gen}(1^n)k←Gen(1n)；（为了下一步的预言机）
2. A \mathcal{A}A 被给予输入 1 n 1^n1n 和对加密函数 E n c k ( ⋅ ) \mathsf{Enc}_k(\cdot)Enck(⋅)和解密函数D e c k ( ⋅ ) \mathsf{Dec}_k(\cdot)Deck(⋅)的预言机访问（oracle access） A E n c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Enc}_k(\cdot)}AEnck(⋅) 和 A D e c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Dec}_k(\cdot)}ADeck(⋅)，输出相同长度 m 0 , m 1 m_0, m_1m0,m1 ；
3. 挑战者生成随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\}b←{0,1}，将挑战密文 c ← E n c k ( m b ) c \gets \mathsf{Enc}_k(m_b)c←Enck(mb) 发送给 A \mathcal{A}A；
4. A \mathcal{A}A 继续对除了挑战密文c cc之外的预言机的访问，输出b ′ b'b′；如果b ′ = b b' = bb′=b，则A \mathcal{A}A成功P r i v K A , Π c c a = 1 \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}=1PrivKA,Πcca=1，否则 0。

• 定义：一个加密方案是CCA安全的，如果实验成功的概率与1/2的差异是可忽略的。
  

33. 理解CCA安全

• 在现实世界中，敌手可以通过影响被解密的内容来实施CCA。如果通信没有认证，那么敌手可以以通信参与方的身份来发送特定密文。下一页有具体真实案例。
  
• CCA安全性意味着“non-malleability”（不可锻造性，即改变但不毁坏），不能修改密文来获得新的有效密文。
  
• 之前的方案中没有CCA安全，因为都不是不可锻造。
  
• 对基于PRF的CPA安全加密方案的CCA攻击：

• A \mathcal{A}A 获得挑战密文 c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right>c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩，并且查询与c cc只相差了一个翻转的比特的密文c ′ c'c′，那么
  m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r)m′=c′⊕Fk(r) 应该与 m b m_{b}mb 除了什么之外都相同？（见下方的补充）
  

• 问题：上述操作模式也不是CCA安全的（作业）
  
• 由此，可以总结出CCA下敌手的常用策略：

• 修改挑战密文c cc为c ′ c'c′，并查询解密预言机得到m ′ m'm′
• 根据关系，由m ′ m'm′来猜测被加密明文m b m_bmb

补充

在这个情况下，A \mathcal{A}A 获得了挑战密文 c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right>c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩ 并查询了一个只在一个比特上与 c cc 不同的密文 c ′ c'c′。我们来分析一下 m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r)m′=c′⊕Fk(r) 与 m b m_{b}mb 的关系。

首先，我们明确 c cc 的构成：

• c cc 包含两个部分：一个随机数 r rr 和使用密钥 k kk 的函数 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 与明文 m b m_{b}mb 的异或结果。
• 因此，c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right>c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩。

现在，如果 A \mathcal{A}A 查询了一个与 c cc 只在一个比特上不同的密文 c ′ c'c′，那么 c ′ c'c′ 也可以写成两部分，但其中一部分与 c cc 有一个比特的差异。这个差异可以在 r rr 部分，也可以在 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b}Fk(r)⊕mb 部分。

当 A \mathcal{A}A 计算 m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r)m′=c′⊕Fk(r) 时，他们实际上是在解开 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b}Fk(r)⊕mb 的异或操作。这是因为异或操作是可逆的，且当两次使用相同的值时会取消彼此的效果（即 A ⊕ B ⊕ B = A A \oplus B \oplus B = AA⊕B⊕B=A）。

因此，如果 c ′ c'c′ 的变化发生在 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 部分，则 m ′ m'm′ 将与 m b m_{b}mb 完全相同，因为 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 部分的变化被异或操作取消了。但如果变化发生在 r rr 部分，则这个变化不会影响到 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b}Fk(r)⊕mb 部分，因此 m ′ m'm′ 将与 m b m_{b}mb 在一个比特上不同。

综上所述，m ′ m'm′ 与 m b m_{b}mb 将在以下方面相同：

• 如果变化发生在 F k ( r ) F_k(r)Fk(r) 部分，那么 m ′ m'm′ 与 m b m_{b}mb 完全相同。
• 如果变化发生在 r rr 部分，那么 m ′ m'm′ 与 m b m_{b}mb 除了那个翻转的比特之外都相同。

填充预言机Padding-Oracle攻击真实案例

34. Padding-Oracle（填充预言机）攻击真实案例

• CAPTCHA服务商为Web网站提供验证用户是否为人类的服务。为此，一个CAPTCHA服务器与Web服务器间事先共享一个密钥k kk，服务工作原理如下：

1. 当Web服务器验证用户是否为人类时，生成一个消息w ww并以k kk加密，向用户发送一个密文E n c k ( w ) Enc_k(w)Enck(w)；
2. 用户将密文E n c k ( w ) Enc_k(w)Enck(w)转发给CAPTCHA服务器；（可实施填充预言机攻击）
3. CAPTCHA服务器用密钥k kk将密文解密，根据解密结果返回给用户信息：一个由w ww生成的图像，或者坏填充错误；
4. 用户根据图像获得 w ww 并将 w ww 发送给Web服务器。

• 在第2步，当恶意用户可以利用CAPTCHA服务器会返回给用户坏填充错误这一漏洞，来实施填充错误攻击。

35. Padding-Oracle（填充预言机）攻击

• 在PKCS #5 padding（填充）标准中，为了将一个消息的长度“填充”到块长度的整数倍，在最后一个块中填充b bb个字节的b bb；必要时，添加一个哑块（dummy block，不包含消息的一个填充块）。存在一种攻击手段：当填充错误时，解密服务器返回一个“坏填充错误”，这相当于提供了一个解密预言机，最终可以获得整个明文；
• 具体攻击原理：

• 更改密文（包含I V IVIV部分）并发送给解密服务器；
• 一旦触发了“坏填充错误”，则说明对密文的更改导致了填充部分内容的更改；否则，对密文的更改导致了原明文部分的更改；
• 通过仔细修改密文来控制填充部分，从而获得消息长度和内容。

36. 填充预言机攻击：获得消息长度

• 攻击的第一步判断消息是否为空：在单个块的CBC中，通过更改I V IVIV的首个字节，攻击者能够获知是否m mm是否为空。因为如果m mm是空的话，更改I V IVIV首个字节将更改解密出的填充内容，解密服务器就会返回坏填充错误（1比特信息），具体分析如下：

• 如果m mm是空的，那么明文会添加一个哑块{ b } b \{b\}^b{b}b；
• PRP的输入为I V ⊕ { b } b IV\oplus \{b\}^bIV⊕{b}b；设I V IVIV的首个字节为x xx，则PRP的输入为( x ⊕ b ) ∥ ( { ⋅ } b − 1 ⊕ { b } b − 1 ) (x \oplus b) \| (\{\cdot\}^{b-1} \oplus \{b\}^{b-1})(x⊕b)∥({⋅}b−1⊕{b}b−1)；
• 将I V IVIV的首个字节从x xx改成y yy变为 y ∥ ( { ⋅ } b − 1 ) y \| (\{\cdot\}^{b-1})y∥({⋅}b−1)，不改变c 1 c_1c1解密得到的PRP的输入不会变，而解密出的明文会改变为 ( x ⊕ y ⊕ b ) ∥ { b } b − 1 (x \oplus y \oplus b) \| \{b\}^{b-1}(x⊕y⊕b)∥{b}b−1；
• 上述明文首个字节一定不是b bb，这是填充格式错误，会触发服务器返回错误；
• 如果上面的尝试没有触发错误，那么说明消息非空；下一步，发现消息长度是否为1字节，方法与上一步一样，区别在于只改变I V IVIV的第2个字节；如此继续，获得消息的长度；（作业）

37. 填充预言机攻击：获得消息内容

• 一旦获得消息的长度，也就知道了填充的长度b bb，采用下面的方法来获得消息的最后一个字节内容，进而获得整个消息；
• 更改密文中倒数第二块，来获得消息的最后一个字节s ss；
• 明文的最后一个块 m l a s t = ⋯ s ∥ { b } b m_{last} = \cdots s \| \{b\}^{b}mlast=⋯s∥{b}b，密文的倒数第二个块 c l a s t − 1 = ⋯ t ∥ { ⋅ } b c_{last-1} = \cdots t \| \{\cdot \}^{b}clast−1=⋯t∥{⋅}b；
• 最后一块的PRP输入为c l a s t − 1 ⊕ m l a s t = ⋯ ( s ⊕ t ) ∥ ( { b } b ⊕ { ⋅ } b ) c_{last-1} \oplus m_{last} = \cdots (s \oplus t) \| (\{b\}^b \oplus \{\cdot \}^{b})clast−1⊕mlast=⋯(s⊕t)∥({b}b⊕{⋅}b)；
• 敌手更改 c l a s t − 1 c_{last-1}clast−1 为 c l a s t − 1 ′ = ⋯ u ∥ ( { ⋅ } b ⊕ { b } b ⊕ { b + 1 } b ) c_{last-1}' = \cdots u \| (\{\cdot \}^{b} \oplus \{b\}^{b} \oplus \{b+1\}^{b})clast−1′=⋯u∥({⋅}b⊕{b}b⊕{b+1}b)；其中，u uu是敌手猜测的某个字节；
• 解密获得最后一块明文m l a s t ′ = c l a s t − 1 ⊕ m l a s t ⊕ c l a s t − 1 ′ = ⋯ ( s ⊕ t ⊕ u ) ∥ { b + 1 } b m'_{last} = c_{last-1} \oplus m_{last} \oplus c_{last-1}' = \cdots (s \oplus t \oplus u)\| \{ b+1 \}^bmlast′=clast−1⊕mlast⊕clast−1′=⋯(s⊕t⊕u)∥{b+1}b；
• 如果没有返回坏填充错误，那么意味着填充了b + 1 b+1b+1个字节的b + 1 b+1b+1，所以 s ⊕ t ⊕ u = ( b + 1 ) s \oplus t \oplus u = (b+1)s⊕t⊕u=(b+1) ，而 s = t ⊕ u ⊕ ( b + 1 ) s = t \oplus u \oplus (b+1)s=t⊕u⊕(b+1) 。

38. 总结

• 略