【动态规划】【矩阵快速幂】LeetCode2851. 字符串转换-阿里云开发者社区

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涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

LeetCode 2851. 字符串转换

给你两个长度都为 n 的字符串 s 和 t 。你可以对字符串 s 执行以下操作：

将 s 长度为 l （0 < l < n）的后缀字符串删除，并将它添加在 s 的开头。

比方说，s = ‘abcd’ ，那么一次操作中，你可以删除后缀 ‘cd’ ，并将它添加到 s 的开头，得到 s = ‘cdab’ 。

给你一个整数 k ，请你返回恰好 k 次操作将 s 变为 t 的方案数。

由于答案可能很大，返回答案对 109 + 7 取余后的结果。

示例 1：

输入：s = “abcd”, t = “cdab”, k = 2

输出：2

解释：

第一种方案：

第一次操作，选择 index = 3 开始的后缀，得到 s = “dabc” 。

第二次操作，选择 index = 3 开始的后缀，得到 s = “cdab” 。

第二种方案：

第一次操作，选择 index = 1 开始的后缀，得到 s = “bcda” 。

第二次操作，选择 index = 1 开始的后缀，得到 s = “cdab” 。

示例 2：

输入：s = “ababab”, t = “ababab”, k = 1

输出：2

解释：

第一种方案：

选择 index = 2 开始的后缀，得到 s = “ababab” 。

第二种方案：

选择 index = 4 开始的后缀，得到 s = “ababab” 。

提示：

2 <= s.length <= 5 * 10⁵

1 <= k <= 10¹⁵

s.length == t.length

s 和 t 都只包含小写英文字母。

矩阵快速幂

想到快速指数幂时，非常容易想到n阶方阵。n阶方阵自乘一次的时间复杂度就是O(n³)，严重超时。

可以优化到2阶方阵。

操作若干次后，假定s[0]的新下标为j。则s[j,n)+s[0,j) ≡ \equiv≡ s ，故若干操作后的状态，可以记为j。某次操作前状态为j1,操作后为j2，则j 2 ∈ [ 0 , j 1 ) ∪ ( j 1 , n ) 即除 j 1 外的所有值 j2\in[0,j1) \cup (j1,n) \quad \quad \quad \quad\quad 即除j1外的所有值j2∈[0,j1)∪(j1,n)即除j1外的所有值

性质一:j3 > 0 j4>0 操作若干次后，结果为j3和j4的可能数相等。

初始状态

pre[0]=1 其它为0 符合

前置状态符合pre[j3] == pre[j4]，操作一次后，后置状态符合dp[3]==dp[4]。

dp[j3] = ∑ m : 0 n − 1 \Large \sum_{m:0}^{n-1}∑m:0n−1pre(m) - pre[j3]

dp[j4] =∑ m : 0 n − 1 \Large \sum_{m:0}^{n-1}∑m:0n−1pre(m) - pre[j4]

dp[j3]-dp[j4] = pre[j3]-pre[j4] = 0。

动态规划的状态表示

只需要两种状态j为0，j不为0。

pre[0] = 1,pre[1]=0

动态规划的转移方程

dp[0] = pre[1](n-1)
dp[1] = pre[0] +pre[1](n-2)

超时

k的最大值是10¹²，大幅超时。用矩阵指数幂。

令矩阵是mat则

{ d p [ 0 ] = p r e [ 0 ] m a t [ 0 ] [ 0 ] + p r e [ 1 ] m a t [ 1 ] [ 0 ] d p [ 1 ] = p r e [ 0 ] m a t [ 0 ] [ 1 ] + p r e [ 1 ] m a t [ 1 ] [ 1 ] → [ 0 1 n − 1 n − 2 ] \begin{cases} dp[0] = pre[0]mat[0][0] + pre[1]mat[1][0] \\ dp[1] = pre[0]mat[0][1] + pre[1]mat[1][1] \\ \end{cases} \rightarrow\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ n-1 & n-2 \\ \end{bmatrix}{dp[0]=pre[0]mat[0][0]+pre[1]mat[1][0]dp[1]=pre[0]mat[0][1]+pre[1]mat[1][1]→[0n−11n−2]

KMP

还需要判断s[j,n)和t[0,j-n) 和 s[0,j)和t[j-n,n) 是否相等。

代码

核心代码

class KMP
{
public:
  virtual int Find(const string& s, const string& t)
  {
    CalLen(t);
    m_vSameLen.assign(s.length(), 0);
    for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); )
    {
      for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);
      //i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等
      m_vSameLen[i1] = j;
      //t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)
      if (0 == j)
      {
        i1++;
        continue;
      }
      const int i2 = i1 + j;
      j = m_vLen[j - 1];
      i1 = i2 - j;//i2不变
    }
    for (int i = 0; i < m_vSameLen.size(); i++)
    {//多余代码是为了增加可测试性
      if (t.length() == m_vSameLen[i])
      {
        return i;
      }
    }
    return -1;
  }
  vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性
  static vector<int> Next(const string& s)
  {
    const int len = s.length();
    vector<int> vNext(len, -1);
    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
      int next = vNext[i - 1];
      while ((-1 != next) && (s[next + 1] != s[i]))
      {
        next = vNext[next];
      }
      vNext[i] = next + (s[next + 1] == s[i]);
    }
    return vNext;
  }
protected:
  void CalLen(const string& str)
  {
    m_vLen.resize(str.length());
    for (int i = 1; i < str.length(); i++)
    {
      int next = m_vLen[i - 1];
      while (str[next] != str[i])
    
        
          {
        if (0 == next)
        {
          break;
        }
        next = m_vLen[0];
      }
      m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);
    }
  }
  int m_c;
  vector<int> m_vLen;//m_vLen[i] 表示t[0,i]的最长公共前后缀 
};
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
  C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
  {
  }
  C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
  {
    return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
  }
  C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
  {
    m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
    return *this;
  }
  C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
  {
    m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
    return *this;
  }
  C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
  {
    return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
  }
  C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
  {
    return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
  }
  C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
  {
    m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
    return *this;
  }
  bool operator<(const C1097Int& o)const
  {
    return m_iData < o.m_iData;
  }
  C1097Int pow(long long n)const
  {
    C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
    while (n)
    {
      if (n & 1)
      {
        iRet *= iCur;
      }
      iCur *= iCur;
      n >>= 1;
    }
    return iRet;
  }
  C1097Int PowNegative1()const
  {
    return pow(MOD - 2);
  }
  int ToInt()const
  {
    return m_iData;
  }
private:
  int m_iData = 0;;
};
class CMat
{
public:
  // 矩阵乘法
  static vector<vector<long long>> multiply(const vector<vector<long long>>& a, const vector<vector<long long>>& b) {
    const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
    assert(iK == b.size());
    vector<vector<long long>> ret(r, vector<long long>(c));
    for (int i = 0; i < r; i++)
    {
      for (int j = 0; j < c; j++)
      {
        for (int k = 0; k < iK; k++)
        {
          ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % s_llMod;
        }
      }
    }
    return ret;
  }
  // 矩阵快速幂
  static vector<vector<long long>> pow(const vector<vector<long long>>& a, vector<vector<long long>> b, long long n) {
    vector<vector<long long>> res = a;
    for (; n; n /= 2) {
      if (n % 2) {
        res = multiply(res, b);
      }
      b = multiply(b, b);
    }
    return res;
  }
  static vector<vector<long long>> TotalRow(const vector<vector<long long>>& a)
  {
    vector<vector<long long>> b(a.front().size(), vector<long long>(1, 1));
    return multiply(a, b);
  }
protected:
  const static long long s_llMod = 1e9 + 7;
};
class Solution {
public:
  int numberOfWays(string s, string t, long long k) {
    const int n = s.length();
    KMP kmp1,kmp2;
    kmp1.Find(t, s);
    kmp2.Find(s, t);
    vector<bool> vSame(n);
    for (int j = 0; j < n; j++)
    {
      if (kmp1.m_vSameLen[j] >= (n - j))
      {// t[j,n) == s[0,n-j)
        if ((0==j)||(kmp2.m_vSameLen[n-j] >= j ))
        {//s[n-j,n) == t[0,j)
          vSame[j] = true;
        }
      }
    }
    vector<vector<long long >> mat = { {0,1},{n-1,n-2} };
    vector<vector<long long >> pre = { {1,0} };
    auto res = CMat::pow(pre, mat, k);
    C1097Int<> biRet;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
      if (vSame[i])
      {
        biRet += res[0][0 != i];
      }
    }
    return biRet.ToInt();
  }
};

测试用例

template<class T,class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{
  assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
  if (v1.size() != v2.size())
  {
    assert(false);
    return;
  }
  for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
  {
    Assert(v1[i], v2[i]);
  }
}
int main()
{   
  string s,t;
  long long k = 0;
  {
    Solution sln;
    s = "abcd", t = "cdab", k = 2;
    auto res = sln.numberOfWays(s, t, k);
    Assert(res,2);
  }
  {
    Solution sln;
    s = "ababab", t = "ababab", k = 1;
    auto res = sln.numberOfWays(s, t, k);
    Assert(res, 2);
  }
  
}

2023年9月

class KMP

{

public:

virtual int Find(const string& s,const string& t )

{

CalLen(t);

m_vSameLen.assign(s.length(), 0);

for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); )

{

for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);

//i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等

m_vSameLen[i1] = j;

//t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)

if (0 == j)

{

i1++;

continue;

}

const int i2 = i1 + j;

j = m_vLen[j - 1];

i1 = i2 - j;//i2不变

}

for (int i = 0; i < m_vSameLen.size(); i++)
  {//多余代码是为了增加可测试性
    if (t.length() == m_vSameLen[i])
    {
      return i;
    }
  }
  return -1;
}
vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性

protected:

void CalLen(const string& str)

{

m_vLen.resize(str.length());

for (int i = 1; i < str.length(); i++)

{

int next = m_vLen[i-1];

while (str[next] != str[i])

{

if (0 == next)

{

break;

}

next = m_vLen[0];

}

m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);

}

int m_c;

vector m_vLen;//m_vLen[i] 表示t[0,i]的最长公共前后缀

};

class CMat

{

public:

// 矩阵乘法

static vector<vector> multiply(vector<vector>& a, vector<vector>& b) {

vector<vector> c(2, vector(2));

for (int i = 0; i < 2; i++) {

for (int j = 0; j < 2; j++) {

c[i][j] = (a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j]) % s_llMod;

}

return c;

}

// 矩阵快速幂

static vector<vector> pow(vector<vector>& a, long long n) {

vector<vector> res = { {1, 0}, {0, 1} };

for (; n; n /= 2) {

if (n % 2) {

res = multiply(res, a);

}

a = multiply(a, a);

}

return res;

}

protected:

const static long long s_llMod = 1e9 + 7;

};

class Solution {

public:

int numberOfWays(string s, string t, long long k) {

int n = s.length();

KMP kmp1,kmp2;

kmp1.Find(s, t);

kmp2.Find(t, s);

int good = 0; //好下标的次数

for (int i = 0; i < n; i++)

{

const int leftLen = n - i;

if (kmp1.m_vSameLen[i] != leftLen)

{

continue;

}

const int rightLen = n - leftLen;

if ((0 == rightLen)|| (kmp2.m_vSameLen[n-rightLen] == rightLen ))

{

good++;

}

vector<vector> mat = { {good - 1,n-good},{good,n-good - 1} };

const int iGoodFirst = good - (s == t);//改变一次后，好下标的数量

vector<vector> vRes = { {iGoodFirst,n - iGoodFirst - 1},{0,0} };

k–;

auto matk = CMat::pow(mat,k);

vRes = CMat::multiply(vRes, matk);

return vRes[0][0];

}

};

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矩阵快速幂

动态规划的状态表示

动态规划的转移方程

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KMP

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