一、欧拉回路与道路
1、欧拉回路与道路
连通图G中，若存在一条道路，经过每一边一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路经过每边一次仅一次，称这条回路为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图，简称E图。
2、欧拉图存在的条件
（1）无向连通图G是欧拉图当且仅当G中无奇点（出入次和为奇数）。
（2）连通有向图G是欧拉图，当且仅当它的每个顶点的出次等于入次。
二、中国邮路问题
1、中国邮路问题
一个邮递员，负责某一地区邮件投递，他每天从邮局出发，走遍该地区所有街道在返回邮局，问应如何安排送信的路线，可以使他所走的路线总路程最短（1962，管谷梅）。
给定一个连通图G，每边有权L(e)，要求一条回路经过每边至少一次，且满足总权和最小。
2、中国邮路问题求解
（1）若连通图G没有奇点，则是一个欧拉图，显然按照欧拉回路走就满足要求：每边一次仅一次，且权和最小；
（2）若G中有奇点，则有些边走过不止一次，这相当于对图G增加一些重复边E1，得到新的图G1=G+E1，使得G1没有奇点，且满足路程最短。
3、有奇点的G的中国邮路问题等价问题
连通图G=(V,E)中，求一个边集E1(E的子集），将E1的边均变成重复边得到G1=G+E1,使得G1无奇点，且
E1*存在的充分必要条件：
（1）每条边最多重复一次；
（2）对图G中每个初等圈来说，重复边的长度不超过圈长的一半。
例1
求图1所示网络的中国邮路问题
【问题分析】
图1中，点v2,v4,v6,v8为奇点，为了使得所有的点为偶点，需要构造辅助边.如果增加(v6,v3)和（v3,v2)，等价于直接增加边(v6,v2)（距离由最短距离决定）。
（1）先求图1中任意两点之间的距离矩阵d1如表1（Floyd算法）。
sets: dian/1..10/:L; link(dian,dian):d,x; endsets data: d=@ole('d:\lianxian','d_1'); enddata n=@size(dian); min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:d(i,j)*x(i,j)); @for(dian(i):@sum(dian(j)|j#ne#i:x(i,j))=1); @for(dian(i):@sum(dian(j)|j#ne#i:x(j,i))=1); @for(dian(i):@for(dian(j)|j#ne#i#and#j#gt#1: L(j)>L(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j))+(n-3)*x(j,i))); @for(dian(i):L(i)<n-1-(n-2)*x(1,i)); @for(dian(i):L(i)>-1+(n-2)*x(i,1)); @for(link:@bin(x));
表1 图1中各点间最短距离
vi\vj |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
v7 |
v8 |
v9 |
v1 |
0 |
5 |
10 |
9 |
11 |
12 |
13 |
15 |
16 |
v2 |
5 |
0 |
5 |
10 |
6 |
7 |
14 |
10 |
11 |
v3 |
10 |
5 |
0 |
9 |
5 |
2 |
13 |
9 |
6 |
v4 |
9 |
10 |
9 |
0 |
4 |
7 |
4 |
8 |
11 |
v5 |
11 |
6 |
5 |
4 |
0 |
3 |
8 |
4 |
7 |
v6 |
12 |
7 |
2 |
7 |
3 |
0 |
11 |
7 |
4 |
v7 |
13 |
14 |
13 |
4 |
8 |
11 |
0 |
4 |
7 |
v8 |
15 |
10 |
9 |
8 |
4 |
7 |
4 |
0 |
3 |
v9 |
16 |
11 |
6 |
11 |
7 |
4 |
7 |
3 |
0 |
根据表1，奇点间最短距离为
d1(v2,v6)=7;
d1(v2,v4)=10;
d1(v2,v8)=10;
d1(v4,v6)=7;
d1(v4,v8)=8;
d1(v6,v8)=7;
（2）确定奇点之间的连线方案
- 如图2所示，若增加(v2,v6)，(v4,v8)边，所有点为偶数点，增加长度为15；
- 如图3所示，若增加(v6,v8)，(v2,v4)边，所有点为偶点，增加长度为17；
- 如图4所示，若增加重复边(v4,v6)，(v2,v8)，所有点为偶点，增加长度为17；
三种方案比较，选择图2所示方案。
（3）规划邮路
从v1出发，经过图2中所有边一次，仅一次回到v1的路径，见图5箭头所示。
v1-v4-v7-v8-v9-v6-v3-v2-v6-v5-v8-v4-v5-v2-v1（不止一种线路）
三、旅行商问题
Hamilton图： 包含图G中每个顶点的路，称为Hamilton路，包含G中每个顶点的圈，称为Hamilton圈（回路）。
例2 旅行商路线问题（算法：tsp问题）
某公司计划在某地区的1-10这10个城镇做广告宣传，推销从城市1出发，再回到1，已知这个10个城镇之间的距离如表2所示。为节约开支，公司希望推销员走过这10个城镇的总距离最少。
表2 各城镇之间的距离
i/j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
0 |
8 |
5 |
9 |
12 |
14 |
12 |
16 |
17 |
22 |
2 |
8 |
0 |
9 |
15 |
16 |
8 |
11 |
18 |
14 |
22 |
3 |
5 |
9 |
0 |
7 |
9 |
11 |
7 |
12 |
12 |
17 |
4 |
9 |
15 |
7 |
0 |
3 |
17 |
10 |
7 |
15 |
15 |
5 |
12 |
16 |
9 |
3 |
0 |
8 |
10 |
6 |
15 |
15 |
6 |
14 |
8 |
11 |
17 |
8 |
0 |
9 |
14 |
8 |
16 |
7 |
12 |
11 |
7 |
10 |
10 |
9 |
0 |
8 |
6 |
11 |
8 |
16 |
18 |
12 |
7 |
6 |
14 |
8 |
0 |
11 |
11 |
9 |
17 |
14 |
12 |
15 |
15 |
8 |
6 |
11 |
0 |
10 |
10 |
22 |
22 |
17 |
15 |
15 |
16 |
11 |
11 |
10 |
0 |
【符号设置】
- G=(V,E) 各城镇连接生产的图；
- dij 两点i与j的距离；
- L(i) 点i到根1的距离（水平变量）；（用来防止提前生成圈）
【模型假设】
（1）经过各城镇一次仅一次；
【建立模型】
（1）连接的各城镇之间的总距离的最小值
（2）每个点只有一个出次
（3）每个点只有一个入次
（4）点i与j的前行后继关系（除1外）
（5）节点i与节点1的距离
（6）变量限制
【数学模型】
【模型求解】
最小路程为73（单位），点与点的连接关系为x(1,2)=1,x(2,6)=1,x(6,5)=1,x(5,4)=1,x(4,8)=1 x(8,10)=1,x(10,9)=1,x(9,7)=1,x(7,3)=1,x(3,1)=1
行程网络图如下
