引言
素数判断与打印素数表，是一道经典题目，相信小伙伴曾经学习C语言的时候肯定有所接触，但是你有没有真正理解这题的奥秘呢？不妨跟着我来一起思考
素数判断
方法1：试除法
根据素数定义，只能被1与本身整除，如果判断n可以整除小于n的数，则不为素数，返回0；如果试除完所有小于n的数都不满足判断，则n一定为质数，返回1
int is_prime(int n) { //返回1表示素数，返回0表示非素数 int i = 0; for (i = 2; i < n; i++) { if (n % i == 0) { return 0; } } return 1; }
该方法还可进一步优化。
因为一个数n如果不为素数，则可以因式分解为两个数，如n=a*b，则其中至少有一个数小于n的开平方，如16=2*8，其中2便小于根号16（也就是4）。
那么，根据这个原理，n来试除i时，i只要小于根号n即可。因为只要n不为素数（必定能分解为两个数），那么在试除小于根号n的数字里，便一定会满足能整除的判断；反之，如果n为素数，只要根号n前的数字都不能被n整除，那么后面也没有数字会满足。
#include<math.h> int is_prime(int n) { //返回1表示素数，返回0表示非素数 int i = 0; //sqrt函数用来开根号 for (i = 2; i < sqrt(n); i++) { if (n % i == 0) { return 0; } } return 1; }
这里我们开根号运用了sqrt库函数，要引用<math.h>的头文件
这一步优化，将使程序的效率大大提升，比如n为100w，则最多只用循环10w次
方法2：6倍原理法
素数有一个性质：除了2和3以外，其余素数一定在6的倍数的两侧
证明：所有数可表示为6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5 （k=0，1，2……）
而6k，6k+2=2(3k+1)，6k+3=3(2k+1)，6k+4=2(3k+2)，均为偶数，则剔除
剩余6k+1，6k+5，因此证明完毕
那么我们就可以用这个性质来进行更高效率的判断
int is_prime(int n) { //2和3单独讨论 if (n == 2 || n == 3) { return 1; } //不在6的倍数两侧的，肯定不为素数 if ((n % 6) != 1 && (n % 6) != 5) { return 0; } //在6的倍数两侧也可能不为素数 int i = 0; for (i = 5; i <= sqrt(n); i += 6) { if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) { return 0; } } //排除所有可能，剩余的就是素数 return 1; }
值得注意的是，在6的倍数两侧也可能不为素数，比如25(在24的旁边)，但是可以整除5(在6的旁边），所以才需加上代码中第三部分的判断，如上图。
此方法比试除法效率大幅度提高。
打印素数表
方法1：试除法与6倍原理法（函数形式）
上述两种素数判断方法写成函数的形式，可以直接用循环加判断的方式打印
试除法：
#include<stdio.h> #include<math.h> int is_prime(int n) { //返回1表示素数，返回0表示非素数 int i = 0; for (i = 2; i < sqrt(n); i++) { if (n % i == 0) { return 0; } } return 1; } int main() { //打印1000 - 2000的素数 int i = 0; for (i = 1000; i <= 2000; i++) { if (is_prime(i) == 1) { printf("%d ", i); } } return 0; }
6倍原理法：
#include<stdio.h> #include<math.h> int is_prime(int n) { if (n == 2 || n == 3) { return 1; } if ((n % 6) != 1 && (n % 6) != 5) { return 0; } int i = 0; for (i = 5; i < sqrt(n); i += 6) { if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) { return 0; } } return 1; } int main() { //打印1000 - 2000的素数 int i = 0; for (i = 1000; i <= 2000; i++) { if (is_prime(i) == 1) { printf("%d ", i); } } return 0; }
方法2：试除法（main函数中直接判断并打印）
在main函数中直接实现，思路与前面大致相同：
1.先用循环生成要打印的数的区间，如1000 - 2000
2.再嵌套一层循环，用于判断每个数i是否能整除比i小的数
3.再用sqrt函数进行优化
有几个与之前不同的小细节：
1.生成数字区间的时候，只生成奇数，这也是一步小优化（因为素数不可能为偶数）
2.设立flag来表示i是否为素数，1为素数，0为非素数（这一点与函数返回1和0目的是一样的）
3.当判断i整除j成立时，即i不为素数，加上break，立马跳出当前循环，避免浪费时间，进一步优化（因为已经判断i不为素数，继续循环判断下去没有意义）
4.当循环素数判断结束后，再判断flag是否为1，如果为1，即循环中没有将flag置为0，说明i为素数，则将i打印
#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { int i = 0; int count = 0; for (i = 1001; i <= 2000; i += 2)//只判断奇数 { //产生1000-2000内的奇数 //假设i为素数 int flag = 1; int j = 0; for (j = 2; j <= sqrt(i); j++)//i能分解成两个因子，其中至少有一个因子小于根号i { //只要i能整除根号i前的数，说明根号i后也有一个数能被整除 //如果没有，则找不到能被整除的数，即i为素数 if (0 == (i % j)) { flag = 0;//则此时i不为素数 break; } } if (1 == flag) { printf("%d ", i); count++; } } printf("\ncount=%d\n", count); return 0; }
方法3：筛选法
这个方法打印素数表的效率，远远高于试除法（哪怕已经优化多次）
原理：所有自然数中，从前往后，先判断该数是否为素数，如果是，则将往后它的倍数都剔除掉，然后再重复以上操作。比如，第一个判断到的质数为2，则将2打印出来，再将4，6，8，12……全部剔除，第2个判断到的质数为3，则将3打印出来，再将6，9，12，15……全部剔除，依此类推，最后剩下的一定全部是质数。
代码如下：
#include<stdio.h> int main() { int i = 0; int count = 0; int arr[2000] = { 0 }; for (i = 2; i < 2000; i++) { arr[i] = 1; } //去除2，3，5……的倍数 for (i = 2; i < 2000; i++) { if (arr[i] != 0) { if ((i >= 1000) && (i <= 2000))//设置打印区间 { count++; printf("%d ", i); } int j = 0; for (j = i + i; j < 2000; j += i) { arr[j] = 0; } } } printf("\ncount=%d\n", count); return 0; }
分析：因为我们要同时记录数的两种状态（是否被剔除，数的值），因此我们用数组来记录
1.先将数组循环初始化，每个值赋予1，表示未被剔除，而下标表示数的值
2.接下来进入循环，从2开始，先打印，再嵌套一层循环来剔除其倍数（将数组的值赋成0，表示已被剔除）
3.再次循环判断时，已被剔除的数将不会进入后续过程，而是下一个素数进入，继续打印并剔除
此方法还可以进一步优化。
不知道聪明的你是否已经发现，在剔除的过程中，总会存在重复剔除的现象，比如2已经剔除了6，而3又剔除了一遍，这样就造成了浪费。所以我们可以把j循环的初始值修改一下，使其不会出现重复剔除的现象，那如何进行修改呢？
数学归纳法发现，将j从i+i改为i*i即可解决问题。比如，3从9开始剔除，则不会再重复剔除6；4从16开始，不会重复剔除8和12……
#include<stdio.h> int main() { int i = 0; int count = 0; int arr[2000] = { 0 }; for (i = 2; i < 2000; i++) { arr[i] = 1; } //去除2，3，5……的倍数 for (i = 2; i < 2000; i++) { if (arr[i] != 0) { if ((i >= 1000) && (i <= 2000))//设置打印区间 { count++; printf("%d ", i); } int j = 0; for (j = i * i; j < 2000; j += i)//把+改成*，避免重复筛选 { arr[j] = 0; } } } printf("\ncount=%d\n", count); return 0; }
总结
一道题有多种思路与实现方式，关键是要学会优化的思想，选取最优解法，这是我们在学习中应该掌握的真正能力。同时，我们也应该学会根据场景与需求的不同，来选取合适的方法，比如要求判断一个数是否为素数，则可将高效率的6倍原理法封装为一个函数来实现功能，又比如要求打印素数表，则可选取筛选法高效打印。这些思想才是我们应该透过题目与语言本身去学习与应用的，是精华所在。
