树的引进以及二叉树的基础讲解——【数据结构】

当我们学习完前面的数据结构，难度也就会上升，但是这个也是非常重要的数据结构。今天我们来学习一种新的数据类型——树。

树的概念以及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的。

这个数据结构非常形象，将我们现实中的树与数据结构联合，所以我们数据结构中的树非常像现实中的树，它是由一个衍生出许多树枝，从树枝中继续衍生为枝叶以此类推得到的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

当“树枝”延申出去后，枝与枝之间就不能再有联系。如果有联系就不是树结构，而是更复杂的图结构！！！

树的相关概念

上图为一个非常标准的树状结构，依靠上图例子我们就可以 学习许多相关的关于树的概念：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示

在我们之前学习的链表、顺序表中，我们经常会创建结构体或数组来进行，但在树中我们应该怎么来表示树的结构呢？当我们初次尝试表示链表时，我们可能会在表示树时有链表的思想在里面。下面我给出一个错误案例：

struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode*child1;
    struct TreeNode*child2;
};

创建两个节点分别记录下左右两个孩子的结构体指针，想要操作就进行访问。但是这样表示太过于局限性，对于树的“形状”我们有太多不确定因素。比如：根的孩子有5个，但是根孩子的孩子有0~6个不等。这样我们所表示的树是错误的。

那有的人又会说我们可以使用结构体指针数组进行储存，来表示树的结构。

#define N 3
struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode*childArr[N];
};

这样的表示方法也存在许多局限性与弊端，首先N应该定为多少呢？如果明确给出树的度，我们才可以定义。而且树的度指树中最大节点的度，那我们全部使用最大节点的度来定义，会有很大的空间浪费。 （可以使用顺序表存储孩子指针）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

这个结构非常巧妙，巧妙在不管度为多少、节点为多少，我们都可以表示出来。

这是表示树的最优解，我们可以通过firstchild找到最左边的孩子节点，然后通过pNextBrother指针找到相邻的兄弟节点，直到pNextBrother指针指向NULL，证明兄弟节点已经访问完了。如果firstchild指针指向NULL，证明已经访问到叶子节点了。

树在实际中的运用

树结构好像在生活中非常少见，那什么是用树实现的呢？

文件系统就是通过树实现的。当我们打开我的电脑后，一般就会有两课树C盘与D盘，当我们对C盘访问时，我们就相对于进入了一个树结构中。

每个文件夹下都有许多“孩子”。这是最典型的树型结构。但是文件系统是一个比较复杂的树，指针不仅仅是指向子节点，还有指向父节点的。

二叉树概念及结构

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。（简单来说：假设树的高度为h， 每一层都是满的）

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（简单来说：假设树的高度为h， 前h-1层是满的，最后一层不一定满，从左到右是连续的）

高度为h的满二叉树有多少个节点呢？

我们可以用等比数列求和公式，首项为1公比为2，F(h) = 2^h-1。

高度为h的完全二叉树，最多有几个节点，最少有几个节点？

满二叉树为特殊的完全二叉树，所以最多有2^h-1个节点，最少就是h-1层为满节点，h层只有一个节点，最少有2^(h-1)个节点。

二叉树的性质

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1=n否则无左孩子

3. 若2i+2=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。  

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链

只有完全二叉树我们才使用顺序存储，而使用顺序存储时我们就得引出一个概念——堆。

以上是树的基本概念，以及二叉树的基础内容。下一篇博客我们将会堆顺序排序、堆的实现……进行描述与讲解。

感谢大家的观看，你们的支持是我最大的动力！！！