线性代数(二)矩阵代数

简介: 线性代数(二)矩阵代数

一:矩阵运算

1.和与标量运算:

47.png

这里比较简单,就不再赘述。


2.矩阵乘法:

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49.png

3.矩阵的乘幂

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4.矩阵的转置:

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二:矩阵的逆

1.定义


52.png


注意:必须是方阵!!!!!!!!!


2.2x2矩阵的逆矩阵的求法

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比较简单,自己推导下即可推出来!


3.性质

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推导按定义推导以及转置的性质。


4.初等矩阵

本质:对应三种初等变换

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理解:见https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109451390的行化简部分。

58.png

6.可逆矩阵的求法的过程理解

59.png


其实就是A在初等变换过程中一定可以变换为行简化阶梯型(这时候就是单位矩阵,因为可逆),这里稍微解释下原因:因为之前说过非0矩阵一定有行简化阶梯,然后因为A有可逆矩阵,所以对于Ax=b来说,有唯一解;有唯一解,也就说明了每一行的主元位置有主元,又因为是方阵,所以其最后就是单位矩阵。

所以过程:


60.png

61.png


7.求可逆矩阵的算法

62.png

三:可逆矩阵的性质

63.png

自己看吧,理解就好。。。


四:分块矩阵

1.例子:

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2.加法、数乘、乘法:

和矩阵一样,见上面的矩阵运算,这里就是用到了一种分治的思想,由大变小,由小解大。


五:矩阵因式分解----LU分解

1.意义

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2.为什么LU分解有用?

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注:因为LU都是三角矩阵,所以在求法过程中是比较简单的,其实就是将一个复杂映射/变换,变成了两次简单的映射/变换。


3.LU分解的例子

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其实第一次来说,对于LU分解和之前的行化简,其实LU分解包含了行化简以及再用LU求解,但是其主要的意义是只是在第一次求LU比较来说,之后的对于以矩阵A为系数的方程,其明显少于直接用行化简求解的过程,如上面:LU分解28次,行化简62次。

所以: 对于求解一系列的方程来说,推荐LU;但是只是求解一次,用行化简即可。


4.LU分解算法


70.png

注:需要注意的是行化简过程中仅用行倍加变换了,所以初等矩阵都是下三角,并且下三角矩阵的乘积和逆也是单位下三角矩阵。

补充:如果矩阵的各阶顺序主子式均不为零,则必有LU分解,且LU唯一;另外在变换过程中可能会有交换两行的过程,这时候需要置换矩阵,之后再补--------




六:N维空间的子空间

71.png

简单来说:就是对加法封闭和对数乘封闭(注意零向量)。


列空间:

72.png

可以从Ax = b出发,若其有解,则b属于A的列空间。

73.png

了解,有个影响即可。


七:维数与秩

维数:

74.png75.png

秩:

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细节就不再细说了,记住就好

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