题目描述
初始时有 个灯泡关闭。第 轮，你打开所有的灯泡。第 轮，每两个灯泡你关闭一次。第 轮，每三个灯泡切换一次开关（如果关闭则开启，如果开启则关闭）。第 轮，每 个灯泡切换一次开关。对于第 轮，你只切换最后一个灯泡的开关。找出 轮后有多少个亮着的灯泡。
示例1
输入： 3 输出： 1 解释： 初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭]. 第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启]. 第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启]. 第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]. 你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。
题解
首先有 个灯泡，假设编号为 到 。第 轮，所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。第 轮，所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。类推下去，第 轮，所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。
综上，对于编号为 的灯泡来说，它最终被开关的次数取决于 有几个因数。如果有奇数个因数，那么它最后就是开着的，否则就是关着的。
那么我们有一个定理：如果一个正整数有奇数个因数，那么它一定是完全平方数。
最浅显的证明就是，一个数 的因数按照从小到大排个序，首尾两两一对之积一定等于 。而如果因数只有奇数个，最中间一个因数 只会出现一次，那么 。
严格证明也不难，首先将 质因数分解为：
那么 的因数个数就是：
因为 的因数个数是奇数，所以任意 必定是奇数，即任意 必定是偶数。
那么 就可以写作：
这就证明了 一定是一个完全平方数。
所以问题就转化为了求 到 之间有多少个完全平方数。答案就是 。
在具体实现的时候，为了防止出现浮点数误差（比如 算出来是 ，取整得到 ），我们可以计算 的结果。
代码
c++
class Solution { public: int bulbSwitch(int n) { return sqrt(n+0.5); } };
