Ⅱ、一维数组解01背包

1）一维数组|滚动数组

我们在上面知道了二维数组的递推公式是 dp[i][j]=Max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j-wᵢ ]+vᵢ )。

即dp[i][j] 的值只与上一层的左上方和正上方有关。换句话说只与上一层有关。那我们是不是可以将二维dp数组降为一维dp数组呢？

答案是可以的。

我们可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][ j -wᵢ ] + vᵢ );

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

2）一维数组的含义及递推公式

而此时一维数组dp[j]的含义就是容量为j的背包所背的最大价值。

那么如何推导dp[j]呢？

dp[j]可以通过dp[ j - wᵢ ]推导出来，dp[j - wᵢ ]表示容量为j - wᵢ 的背包所背的最大价值。

dp[j - wᵢ ] + vᵢ 表示容量为 j -物品i重量的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是不放物品i ，取自己 dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，，一个是放物品i 取dp[j - wᵢ ] + vᵢ，然后求两者最大值，所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - wᵢ] + vᵢ);

3）一维数组的初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置，初始化为0，其他下标应该初始化多少呢？

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - wᵢ ] + vᵢ );

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取到最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

4）遍历一维数组

我们由上面知道了递推公式为 dp[j] = max(dp[j], dp[j - wᵢ ] + vᵢ )。虽然它是一维数组，但和我们二维递推数组还是很像的，所以想想我前面说的话：

dp[i][j] 的值只与上一层的左上方和正上方有关。

所以我们遍历的时候应该先遍历物品，再遍历背包容量，并且背包是从大到小倒序遍历。

 //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
        for (int i = 0; i < wLen; i++){
            for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }

还是这张图，如果我们顺序遍历背包，那么后面的值就会被影响，这会导致物品i被重复多次加入。举一个例子：物品1的重量 w = 1，价值 v= 3

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - w ] + v = 3

dp[2] = dp[2 - w ] + v = 6

此时dp[2]就已经是6了，意味着物品1，被放入了两次（这也违背了01背包每个物品只能放一次的规定，或者说这是完全背包），所以不能正序遍历。

而从后往前循环，每次取的状态不会和之前取的状态重合，这样每种物品就只取了一次。

5）遍历顺序的讨论

那这个一维数组的两个for循环是否可以颠倒呢？

答案是不可以的。

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个符合当前容量的最大价值的物品。

倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

可以看下面循环顺序颠倒的代码，发现每个 dp[j]就只会放入一个物品

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {3, 4, 6};
        int bagWight = 4;
        method(weight, value, bagWight);
    }
    public static void method(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
        int wLen = weight.length;
        //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        //遍历顺序：先遍历背包容量,再遍历物品，背包中就只会放一个物品
            for (int j =bagWeight; j >=0; j--){
                for (int i = 0; i < wLen&&j >= weight[i]; i++){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        //打印dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
            System.out.print(dp[j] + " ");
        }
    }
}

输出

0 3 3 4 6

6）代码

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {3, 4, 6};
        int bagWight = 4;
        method(weight, value, bagWight);
    }
    public static void method(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
        int wLen = weight.length;
        //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
        for (int i = 0; i < wLen; i++){
            for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        //打印dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
            System.out.print(dp[j] + " ");//0 3 3 4 7
        }
    }
}

完全背包

1、题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用（这也是与01背包的区别）。第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

2、思路

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件，也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……取[V/c]件等很多种（我们可以想象01背包就是取0件或者1件，

所以完全背包其实就是01背包转换过来的）。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

dp[j]=Max（ dp[j] , dp[j-c]+w)

3、遍历顺序的讨论

看了前面，我们知道01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量，而且背包容量还要是倒序（因为顺序的话就会将一个物品多次放入背包中）。

那么完全背包可以颠倒顺序吗？（指纯完全背包）

答案是可以的。上面我们说的因为顺序的话就会将一个物品多次放入背包中，而完全背包每个物品有无限个，所以完全背包不需要倒序，顺序即可。而01背包一维数组因为只能倒序，所以先遍历背包容量，再遍历背包，背包中就只会放一个物品。但是完全背包解决了顺序倒序的问题，可以使用顺序了，那它先先遍历背包容量，再遍历背包便也没问题了。

为了方便理解，可以下面画的两个二维dp数组的图

先物品后背包容量

先背包容量再物品

看了看到，不管怎么遍历，都可以由前面的值得到正确的dp[i][j],不会受到影响

4、代码

public class Main {
    //先遍历物品，再遍历背包
    static void testCompletePack(){
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {3, 4, 6};
        int bagWeight = 4;
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
            for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        for (int maxValue : dp){
            System.out.print(maxValue + " ");
        }
    }
    //先遍历背包，再遍历物品
    static void testCompletePackAnotherWay(){
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {3, 4, 6};
        int bagWeight = 4;
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
            for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
                if (i - weight[j] >= 0){
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
                }
            }
        }
        for (int maxValue : dp){
            System.out.print(maxValue + " ");
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
       testCompletePack();//0 3 6 9 12 
        System.out.println();
       testCompletePackAnotherWay();//0 3 6 9 12 
    }
}