1. 傅里叶变换和短时傅里叶变换的局限性
将信号f(T)分解为无穷多个正弦波/余弦波(谐波)；
没有办法准确地识别事件发生的地点；
不能很好地处理不连续的、突发的信号，例如视频，音乐等。
平稳信号
频率含量在时间上不变的信号
所有频率分量在任何时候都存在
非平稳信号
频率分量随时间的变化
一个例子：“Chirp信号”
频率分量是什么时候发生的？“傅里叶变换”看不出来！
短时傅里叶痛点：
为了克服傅里叶变换无法实现时域局部化，以及 STFT存在固定分辨率的缺陷，希望窗口函数的形状可以改变，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，由此引出下节小波变换。
2. 小波理论简介–小波变换
小波变换由法国地球物理学家 Morlet于 20世纪 80年代初在分析地球物理信号时提出。小波变换优于傅里叶变换的地方：在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空域采样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，故被人们誉
为数字显微镜。
2.1 连续小波变换(CWT)
假设母函数为 
，定义伸缩、平移变量为 , a，b ∈R且 0>a ，则簇函数为
若信号为 
，则 x(t)的小波变换为
- 在小波变换中，在每一个可能的尺度上计算小波系数是一项相当大的工作，它产生了大量的数据。
- 如果尺度(A)和位置(B)被选择为离散的，那么分析就会容易得多，不会产生大量的数据。
- 这种选择离散值展开(A)和平移(B)参数的思想在
冗余小波变换
小波正交基/多解析度分析
2.2 离散小波变换(DWT)
即在 (a ,b ) 离散网格上作小波变换，称为离散小波变换 ( DWT)。
3. 小波滤波器组理论
小波分类
小波适用范围
—系列用于研究高维空间特征的方向性小波
4. 小波应用
小波在压缩，消噪，不连续检测，特征增强都有运用。
5. MATLAB中的小波
小波分解与重构基本函数
[c,l]=wavedec(s,N,'wname') 对信号s进行一维N尺度分解 x=waverec(c,l,'wname') 用指定的小波函数'wname'对小波分解结构(c,l)进行多尺度一维小波重构 A=appcoef(c,l,'wname',N) 计算尺度N时的低频系数。 D=detcoef(c,l,N) 提取N尺度的高频系数。 [nc,nl,ca]=upwlev(c,l,'wname')对小波分解结构[c,l]进行单尺度重构，返回上一尺度的分解结构并提 取最后一尺度的低频分量。 x=wrcoef('type',c,l,'wname',N)对一维信号的分解结构[c,l]用指定的小波函数进行重构，当'type=a' 时对信号的低频部分进行重构，此时N可以为0.当'type=d'时，对信号 的高频部分进行重构，此时N为正整数。 y=upcoef('O',x,'wname',N) 用于一维小波分析，计算向量x向上N步的重构小波系数，N为正整数。如 果O=a,对低频系数进行重构；如果O=d，对高频系数进行重构。 [thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x)产生信号全局默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消除噪 声的处理,thr = sqrt(2*log(n)) * s xd=wdencmp('gbl',x,'db3',2,thr,sorh,keepapp) THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA)使用penalization方法为降噪返回全局门槛THR.
5.1 举例1—分解
读取系统leleccum函数抽取1000份，
代码：
clc;clear; load leleccum; N=1000; y = leleccum(1:N); figure(1); plot(y);
图像：
分别采用“db1”和“db3”进行3次分解
小波树如下：
第一级分解：
后级分解：
代码如下：
clc;clear; load leleccum; N=1000; y = leleccum(1:N); [c,l]=wavedec(y,3,'db1'); a3=appcoef(c,l,'db1',3); d1=detcoef(c,l,1); d2=detcoef(c,l,2); d3=detcoef(c,l,3); figure(1); subplot(2,2,1) plot(a3); title('a3'); subplot(2,2,2) plot(d3); title('d3'); subplot(2,2,3) plot(d2); title('d2'); subplot(2,2,4) plot(d1); title('d1'); hold on; [c,l]=wavedec(y,3,'db3'); a3=appcoef(c,l,'db3',3); d1=detcoef(c,l,1); d2=detcoef(c,l,2); d3=detcoef(c,l,3); figure(2); subplot(2,2,1); plot(a3); title('a3'); subplot(2,2,2); plot(d3); title('d3'); subplot(2,2,3); plot(d2); title('d2'); subplot(2,2,4); plot(d1); title('d1');
显示效果如下：
笔者可见“db1”比“db3”更加平滑，消除更多的高频噪声。
5.2 举例2—分解细节重构
“db1”先分解后重构
代码：
clc;clear; load leleccum; N=1000; y = leleccum(1:N); h=wfilters('db1','l'); % 低通 g=wfilters('db1','h'); % 高通 a1=dyaddown(conv(y,h)); % 卷积下采样 d1=dyaddown(conv(y,g)); % 卷积下采样 a2=dyaddown(conv(a1,h)); % 卷积下采样 d2=dyaddown(conv(a1,g)); % 卷积下采样 a3=dyaddown(conv(a2,h)); % 卷积下采样 d3=dyaddown(conv(a2,g)); % 卷积下采样, figure(3); subplot(2,2,1) plot(a3); title('a3'); subplot(2,2,2) plot(d3); title('d3'); subplot(2,2,3) plot(d2); title('d2'); subplot(2,2,4) plot(d1); title('d1'); d3_up=dyadup(d3); % 上采样 a3_up=dyadup(a3); % 上采样 d3_up=d3_up(1,[1:N/4]); % 去掉最后一个零 a3_up=a3_up(1,[1:N/4]); % 去掉最后一个零 hr=h(end:-1:1); % 重构低通 gr=g(end:-1:1); % 重构高通 hr=circshift(hr',1)'; % 位置调整圆周右移一位 gr=circshift(gr',1)'; % 位置调整圆周右移一位 a2_t=conv(a3_up,hr)+conv(d3_up,gr); a2_t=a2_t(1,[2:end]); a2_up=dyadup(a2_t); d2_up=dyadup(d2); d2_up=d2_up(1,[1:N/2]); % 去掉最后一个零 a2_up=a2_up(1,[1:N/2]); % 去掉最后一个零 a1_t=conv(a2_up,hr)+conv(d2_up,gr); a1_t=a1_t(1,[2:end]); a1_up=dyadup(a1_t); d1_up=dyadup(d1); d1_up=d1_up(1,[1:N]); % 去掉最后一个零 a1_up=a1_up(1,[1:N]); % 去掉最后一个零 y_t=conv(a1_up,hr)+conv(d1_up,gr); y_t=y_t(1,[2:end]); figure(5); subplot(2,2,1) plot(a2-a2_t); title('a2-a2_t'); subplot(2,2,2) plot(a1-a1_t); title('a1-a1_t'); subplot(2,2,3) plot(y-y_t); title('y-y_t'); subplot(2,2,4) plot(y_t); title('y_t');
图像如下：
“db3”先分解后重构
代码：
clc;clear; load leleccum; N=1000; y = leleccum(1:N); h=wfilters('db3','l'); % 低通 g=wfilters('db3','h'); % 高通 a1=dyaddown(conv(y,h)); % 2抽取 d1=dyaddown(conv(y,g)); % 2抽取 a2=dyaddown(conv(a1,h)); % 2抽取 d2=dyaddown(conv(a1,g)); % 2抽取 a3=dyaddown(conv(a2,h)); % 2抽取 d3=dyaddown(conv(a2,g)); % 2抽取, figure(4); subplot(2,2,1) plot(a3); title('a3'); subplot(2,2,2) plot(d3); title('d3'); subplot(2,2,3) plot(d2); title('d2'); subplot(2,2,4) plot(d1); title('d1'); d3_up=dyadup(d3); % 2插值 a3_up=dyadup(a3); % 2插值 d3_up=d3_up(1,[1:N/4]); % 去掉最后一个零 a3_up=a3_up(1,[1:N/4]); % 去掉最后一个零 hr=h(end:-1:1); % 重构低通 gr=g(end:-1:1); % 重构高通 hr=circshift(hr',1)'; % 位置调整圆周右移一位 gr=circshift(gr',1)'; % 位置调整圆周右移一位 a2_t=conv(a3_up,hr)+conv(d3_up,gr); a2_t=a2_t(1,[3:end]); a2_up=dyadup(a2_t); d2_up=dyadup(d2); d2_up=d2_up(1,[1:N/2]); % 去掉最后一个零 a2_up=a2_up(1,[1:N/2]); % 去掉最后一个零 a1_t=conv(a2_up,hr)+conv(d2_up,gr); a1_t=a1_t(1,[4:end]); a1_up=dyadup(a1_t); d1_up=dyadup(d1); d1_up=d1_up(1,[1:N]); % 去掉最后一个零 a1_up=a1_up(1,[1:N]); % 去掉最后一个零 y_t=conv(a1_up,hr)+conv(d1_up,gr); y_t=y_t(1,[6:end]); figure(6); subplot(2,2,1) plot(a2-a2_t); title('a2-a2_t'); subplot(2,2,2) plot(a1-a1_t); title('a1-a1_t'); subplot(2,2,3) plot(y-y_t); title('y-y_t'); subplot(2,2,4) plot(y_t); title('y_t');
图像如下：
5.3 举例3—分解重构
代码：
clc;clear; load leleccum; N=1000; y = leleccum(1:N); [c,l]=wavedec(y,3,'db1'); y1 = waverec(c,l,'db1'); [c,l]=wavedec(y,3,'db3'); y3 = waverec(c,l,'db1'); figure(7); subplot(2,3,1) plot(y); title('y'); subplot(2,3,2) plot(y1); title('y1'); subplot(2,3,3) plot(y3); title('y3'); subplot(2,3,5) plot(y-y1); title('y-y1'); subplot(2,3,6) plot(y-y3); title('y-y3');
图像：
综上所述笔者认为“db3”效果偏差
