数据结构——2-3查找树特性(一）

文章目录

2-3查找树

1. 2-3查找树的定义

2. 查找

3. 插入

3.1 向2-结点插入新键

3.2 向一颗只含有一个3-结点的树中插入新值

3.3 向一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键

3.4 向一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键

3.5 分解根结点

4. 2-3树的性质

5. 2-3树的应用

学习过二叉查找树的人知道它的查询效率比单纯的链表和数组的查询效率要高很多，大部分情况下，确实是这样的，但不幸的是，在最坏情况下，二叉查找树的性能还是很糟糕。

例如我们依次往二叉查找树中插入9,8,7,6,5,4,3,2,1这9个数据，那么最终构造出来的树是长得下面这个样子：

我们会发现，如果我们要查找1这个元素，查找的效率依旧会很低。效率低的原因在于这个树并不平衡，全部是向左边分支，如果我们有一种方法，能够不受插入数据的影响，让生成的树都像完全二叉树那样，那么即使在最坏情况下，查找的效率依旧会很好。

2-3查找树

为了保证查找树的平衡性，我们需要一些灵活性，因此在这里我们允许树中的一个结点保存多个键。确切的说，我们将一棵标准的二叉查找树中的结点称为2-结点(含有一个键和两条链)，而现在我们引入3-结点，它含有两个键和三条链。2-结点和3-结点中的每条链都对应着其中保存的键所分割产生的一个区间。

1. 2-3查找树的定义

一棵2-3查找树要么为空，要么满足满足下面两个要求：

2-结点

含有一个键(及其对应的值)和两条链，左链接指向2-3树中的键都小于该结点，右链接指向的2-3树中的键都大于该结点。

3-结点

含有两个键(及其对应的值)和三条链，左链接指向的2-3树中的键都小于该结点，中链接指向的2-3树中的键都位于该结点的两个键之间，右链接指向的2-3树中的键都大于该结点。

2. 查找

将二叉查找树的查找算法一般化我们就能够直接得到2-3树的查找算法。要判断一个键是否在树中，我们先将它和根结点中的键比较。如果它和其中任意一个相等，查找命中；否则我们就根据比较的结果找到指向相应区间的连接，并在其指向的子树中递归地继续查找。如果这个是空链接，查找未命中。

3. 插入

3.1 向2-结点插入新键

往2-3树中插入元素和往二叉查找树中插入元素一样，首先要进行查找，然后将节点挂到未找到的节点上。2-3树之所以能够保证在最差的情况下的效率的原因在于其插入之后仍然能够保持平衡状态。如果查找后未找到的节点是一个2-结点，那么很容易，我们只需要将新的元素放到这个2-结点里面使其变成一个3-结点即可。但是如果查找的节点结束于一个3-结点，那么可能有点麻烦。

3.2 向一颗只含有一个3-结点的树中插入新值

假设2-3树只包含一个3-结点，这个结点有两个键，没有空间来插入第三个键了，最自然的方式是我们假设这个结点能存放三个元素，暂时使其变成一个4-结点，同时他包含四条链接。然后，我们将这个4-结点的中间元素提升，左边的键作为其左子结点，右边的键作为其右子结点。插入完成，变为平衡2-3查找树，树的高度从0变为1。

3.3 向一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键

和上面的情况一样一样，我们也可以将新的元素插入到3-结点中，使其成为一个临时的4-结点，然后，将该结点中的中间元素提升到父结点即2-结点中，使其父结点成为一个3-结点，然后将左右结点分别挂在这个3-结点的恰当位置。