【CCCC】L3-009 长城 (30分)，计算几何+凸包，极角排序

problem

L3-009 长城 (30分)
正如我们所知，中国古代长城的建造是为了抵御外敌入侵。在长城上，建造了许多烽火台。每个烽火台都监视着一个特定的地区范围。一旦某个地区有外敌入侵，值守在对应烽火台上的士兵就会将敌情通报给周围的烽火台，并迅速接力地传递到总部。

现在如图1所示，若水平为南北方向、垂直为海拔高度方向，假设长城就是依次相联的一系列线段，而且在此范围内的任一垂直线与这些线段有且仅有唯一的交点。

图 1

进一步地，假设烽火台只能建造在线段的端点处。我们认为烽火台本身是没有高度的，每个烽火台只负责向北方（图1中向左）瞭望，而且一旦有外敌入侵，只要敌人与烽火台之间未被山体遮挡，哨兵就会立即察觉。当然，按照这一军规，对于南侧的敌情各烽火台并不负责任。一旦哨兵发现敌情，他就会立即以狼烟或烽火的形式，向其南方的烽火台传递警报，直到位于最南侧的总部。

以图2中的长城为例，负责守卫的四个烽火台用蓝白圆点示意，最南侧的总部用红色圆点示意。如果红色星形标示的地方出现敌情，将被哨兵们发现并沿红色折线将警报传递到总部。当然，就这个例子而言只需两个烽火台的协作，但其他位置的敌情可能需要更多。

然而反过来，即便这里的4个烽火台全部参与，依然有不能覆盖的（黄色）区域。

图 2

另外，为避免歧义，我们在这里约定，与某个烽火台的视线刚好相切的区域都认为可以被该烽火台所监视。以图3中的长城为例，若A、B、C、D点均共线，且在D点设置一处烽火台，则A、B、C以及线段BC上的任何一点都在该烽火台的监视范围之内。

图 3

好了，倘若你是秦始皇的太尉，为不致出现更多孟姜女式的悲剧，如何在保证长城安全的前提下，使消耗的民力（建造的烽火台）最少呢？

输入格式：
输入在第一行给出一个正整数N（3 ≤ N ≤10
​5
​​ ），即刻画长城边缘的折线顶点（含起点和终点）数。随后N行，每行给出一个顶点的x和y坐标，其间以空格分隔。注意顶点从南到北依次给出，第一个顶点为总部所在位置。坐标为区间[−10
​9
​​ ,10
​9
​​ )内的整数，且没有重合点。

输出格式：
在一行中输出所需建造烽火台（不含总部）的最少数目。

输入样例：
10
67 32
48 -49
32 53
22 -44
19 22
11 40
10 -65
-1 -23
-3 31
-7 59
输出样例：
2

【题意】

• 给出平面上从右到左n个点的坐标，相邻两点连成线段。
• 选择最少的几个点，让他们的连线能够覆盖其余的点

solution

【思路】

• 假设当前点为A，他的右边有相邻点B，C，此时若是AC*AB<0，即AB在AC上方，此时B为凸点。
• 做题的时候把从右到做的点依次入栈，每次判断栈顶的点是否会成为凸点（AB在AC上方），不会就丢掉，直到遇到会的，那么统计答案（用set去掉重复）。

【科普】

• 凸包定义：在平面内的n个点中选出一部分，形成一个凸多边形，包裹住其他所有点。
• 凸包解法：Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针（连线斜率从小到大）方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序（以x轴正半轴为始边，逆时针转过的角），然后对其查询使用。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 5e5+10;

LL x[maxn], y[maxn];
int stk[maxn], top;
set<int>se;

bool check(int a, int b, int c){//向量ab在ac下面(kab<kac)，b是凹点
    return (x[c]-x[a])*(y[b]-y[a])<=(x[b]-x[a])*(y[c]-y[a]);
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;  cin>>n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin>>x[i]>>y[i];
        if(top>=1){
            while(top>=2 && check(i,stk[top-1],stk[top-2]))top--;//b是凹点不要它了
            if(stk[top-1])se.insert(stk[top-1]);//找到凸点了入栈
        }
        stk[top++] = i;
    }
    cout<<se.size()<<endl;
    return 0;
}