逻辑回归
逻辑回归模型
逻辑回归表达式：
$$ h_\theta(x) = g(\theta^Tx) $$
$$ z = \theta^Tx $$
$$ g(z) = {1\over 1+e^{-z}} $$
综上，
$$ h_\theta(x) = {1\over 1+e^{-\theta^Tx}} $$
sigmoid函数：
选择题1：
接下来我们深入的来理解下这个sigmoid函数。通过图可以知道:
- 如果想要判断预测分类$\color{red}{y=1}$，则必须保证$\color{red}{h_\theta(x)>=0.5}$,这里如果用$g(z)$来代替$h_\theta(x)$的话也即$g(z)>=0.5$,则对应的$x$轴则是$z>=0$,所以转换过来也即是$\color{red}{\theta^Tx>=0}$。
- 如果想要判断预测分类$\color{red}{y=0}$，则必须保证$\color{red}{h_\theta(x)<0.5}$,这里如果用$g(z)$来代替$h_\theta(x)$的话也即$g(z)<0.5$,则对应的$x$轴则是$z<0$,所以转换过来也即是$\color{red}{\theta^Tx<0}$。
决策边界
- 对于线性回归：假设$\theta$矩阵中的$\theta_0,\theta_1,\theta_2$已经确定，也就是$\theta^Tx$确定了，那么就会确定一条直线，比如图中的$\color{red}{x_1 + x_2 = 3}$这条直线，我们可以利用这条直线来确定一个边界，边界的一侧是y=1类，另一侧则是y=0类。
- 对于非线性回归：假设$\theta$矩阵已经确定，也就是$\theta^Tx$确定了，那么就会确定一条曲线，比如图中的$\color{red}{x_3^2 + x_4^2 = 1}$这条曲线，我们可以利用这条曲线来确定一个边界，边界的外侧是y=1类，内侧则是y=0类。
代价函数：
我们由线性代价函数来引入，可以看到，如果将各个单个值的序号去掉那么线性的代价函数无非就是${1\over 2}(h_\theta(x)-y)^2$这个表达式，然而此时我们将线性代数的假设函数$h_\theta(x)$替换成了sigmoid函数，如果继续按着之前的表达式求它的代价cost的话那么它的函数曲线将会是一个“非凸”函数(non-convex)，而非一个碗型的“凸”函数(convex)。所以，对于逻辑回归我们将会采用新的代价函数。如下图：
- 对于$\color{red}{y=1}$来说：
此时的cost计算公式为：
$$ Cost(h_\theta(x)) = -log(h_\theta(x)) $$
因为$h_\theta(x)$是sigmoid函数，所以它的值域为(0,1)，故我们只讨论横坐标$h_\theta(x)$在(0,1)范围内的costJ代价的变化。
如果$y=1,h_\theta(x)=1$,那么就可以说我的预测值与实际值是无偏差的，可以说是$cost=0$，但是假如$y=1,h_\theta(x)=0$，那么意味着我的预测值与实际值是有很大偏差的，那么就要惩罚学习算法让它的代价变大，于是对应上图就可明白，当横坐标$h_\theta(x)=1$时，曲线确实cost=0，而当$h_\theta(x)=0$时，cost趋于了无穷大。
- 对于$\color{red}{y=0}$来说:
此时的cost计算公式为：
$$ Cost(h_\theta(x)) = -log(1-h_\theta(x)) $$
同样$h_\theta(x)$的值域为(0,1)，所以我们只讨论横坐标在(0,1)的范围内的cost的变化。如果$y=0$,$h_\theta(x)=0$,那么就可以说我的预测值与实际值是无偏差的，可以说是$cost=0$，但是假如$y=0$,$h_\theta(x)=1$，那么意味着我的预测值与实际值是有很大偏差的，那么就要惩罚学习算法让它的代价变大，于是对应上图就可明白，当横坐标$h_\theta(x)=0$时，曲线确实cost=0，而当$h_\theta(x)=1$时，cost趋于了无穷大。
有时，我们也把上面的函数写成一个表达式：
$$ Cost(h_\theta(x)) = -ylog(h_\theta(x))-(1-y)log(1-h_\theta(x)) $$
如果x和y变成多维，则代价函数变为：
$$ J(\theta) = -{1\over m}[\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}log(h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))] $$
$color{red}{注意}$：上面是Andrew NG直接给出的cost function，并没有给出推导，这里我把具体的cost function由来给写一下供大家参考：
对于Logistic regression，$h_\theta(x)$函数代表的是等于1的概率，所以有如下的条件概率分布：
$$ P(Y=1|x) = {1\over 1 + e^{-\theta^Tx}} = h_\theta(x) $$
$$ P(Y=0|x) = 1-{1\over 1 + e^{-\theta^Tx}} = 1 - h_\theta(x) $$
那么将两个式子合并起来写在一起就是：
$$ P(Y|x) = h_\theta(x)^y(1-h_\theta(x))^{1-y} $$
对上面这个式子求似然函数：
$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{m}{P(Y_i|x_i)} = \prod_{i=1}^{m}{h_\theta(x_i)^{y_i}(1-h_\theta(x_i))^{1-y_i}} $$
在对上面的似然函数求对数为：
$$ l(\theta) = logL(\theta) = \sum_{i=1}^{m}[{y_ilogh_\theta(x_i)+(1-y_i)log(1-h_\theta(x_i))}] $$
如果想求最优解则对上式求极大值时下的$\theta$，则此时运用的是梯度上升法，但是在Andrew NG的课程中使用的是梯度下降算法，故有：
$$ J(\theta) = -{1\over m}l(\theta) = -{1\over m}[\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}log(h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))] $$
即为所求。
选择题2：
选择题3：
梯度下降
选择题4：
选择题5：
解析
- 也可写成如下
优化梯度下降算法
在Octave中，用此方法来替代梯度下降算法，因为此优化算法不用人为指定conjugate:
- 不需进行学习速率$\alpha$，所以可以将此算法看成是加强版的选择。
- 通常比梯度下降算法快。
选择题6：
多分类
多分类的一种方法是采用“one-vs-all”的方法将多种类别区分：具体思想是针对每一个类别可以训练分类器以区分是否为该类，这样如果有$k$个类别，那么就会训练出$k$个模型。
然后如果想要预测$test$到底为哪一类别时，将$test$分别输入到这$k$个模型中，哪一类的输出概率最大就分类为哪一类。
选择题7：
小节测试题1：
小节测试题2：
小节测试题3：
小节测试题4：
小节测试题5：
解析
- 线性回归是用来拟合数据对数据进行预测属于回归，但是逻辑回归是用来分类的属于分类。而区分类别是根据$h_\theta(x)$与0.5的关系，也就是$\theta^Tx$与0的关系，所以题中的$\theta^Tx$即为$-x+6$，所以当$x-6>0$时为$y=1$类，反之为$y=0$类。
- 但是算法复杂。
多分类
解决过拟合问题
过拟合
产生过拟合问题的原因：数据集的特征非常多并且数据集很小。
选择题1：
如何解决过拟合：
1、减少特征的数量
- 手动的选择要保留的特征。
- 模型选择算法(会自动的选择要保留的特征，之后会讲到)
2、正则化
- 保留所有的特征，并减小$\theta_j$的值或数量级
带正则化项的cost function
如图所示，将之前的cost function加上一个正则化项：
$$ J(\theta)={1\over2}[\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2+\lambda\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2] $$
注意到，后面的正则项是从$j=1$开始的，不包括$\theta_0$。参数$\lambda$叫做正则化项参数，用来减小$\theta_j$的值，当$\lambda$很大时，$\theta_j$都会变得很小。所以就相当于只剩下$\theta_0$了。
选择题2：
带有正则化项的线性回归
- 在梯度下降方法中
如图，
在带有正则项的线性回归的梯度下降中，可以将$\theta$的更新分成两部分，一部分是$\theta_0$，另一部分是$\theta_j,j=1,2,3...$，而后者可以等价于：
$$ \theta_j = \theta_j(1-\alpha{\lambda\over m})-\alpha{1\over m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} $$
选择题3：
- 在正规方程中
在正规方程中，正则化项为一个$(n+1)*(n+1)$的矩阵。
带有正则项的逻辑回归
在逻辑回归中，cost function带有了正则项后就变成这样：
$$ J(\theta)=-[{1\over m}\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}logh_\theta(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))]+{\lambda\over 2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 $$
于是，随后的计算梯度就变成了这样，但一定要注意的是$\color{red}{j=0}$与$\color{red}{j=1}$是不同的。
${\partial J(\theta)\over \partial\theta_0} = {1\over m}\sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})}x_j^{(i)}$ $\color{red}{for\ j=0}$
${\partial J(\theta)\over \partial\theta_0} = ({1\over m}\sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})}x_j^{(i)})+{\lambda\over m}\theta_j$ $\color{red}{for\ j>=1}$
选择题4：
