思路分析
动规五部曲
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]:分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j)直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
那有同学问了，j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。
所以递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，要取最大值。
dp的初始化
dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。而且题目中 n >=2
这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
另外 i-j > 1 => j < i - 1 ,这个可以作为j的循环条件
举例推导dp数组
当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; /* 1.DP定义：将整数i进行拆分后乘积最大值为dp[i] 2.状态转移方程： 2.1 设一个j为i拆分后的一个数 则另外一个数为(i-j) 2.2 (i-j)可以直接与j进行相乘 也可以进行拆分后与i进行相乘 2.3 dp[i] = max(j*(i-j),j*dp[i-j]) 3.初始化base case： 0和1进行拆分是无意义的 由n的范围[2,58]也可知 因此dp[0]/dp[1]是无意义的 同时也不需要进行赋值 在后面的程序中也不应该用到dp[0]/dp[1] 故初始化dp[2]=1. 4.遍历顺序：见下文 */ int integerBreak(int n) { vector<int> dp(n+1,0); dp[2] = 1; //遍历从3到n 填充这些数对应的dp值 //目标结果：dp[n] for(int i = 3; i <= n; i++) { // 由于dp[2]及其之后才有意义,所以 i-j >1 即j<i-1 for(int j = 1; j < i - 1; j++) { dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));//因为求的是最大值,所以max中也需要dp[i] } } //n拆分后的数集的最大乘积 即dp[n] return dp[n]; }
96. 不同的二叉搜索树
题目描述
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3 输出：5
示例 2：
输入：n = 1 输出：1
思路分析
我们先观察下有没有什么规律，如图：
来看看n为3的时候，有哪几种情况。
当1为头结点的时候，其右子树有两个节点，看这两个节点的布局，是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊！（我们求的是树的数量,所以不用关心其具体数值的差异）
当3为头结点的时候，其左子树有两个节点，看这两个节点的布局，是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊！
当2为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊！
发现到这里，其实我们就找到了重叠子问题了，其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
思考到这里，这道题目就有眉目了。
dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示：
此时我们已经找到递推关系了，那么可以用**动规五部曲**再系统分析一遍。
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
以下分析如果想不清楚，就来回想一下dp[i]的定义
确定递推公式
在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] (j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。)
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
dp数组如何初始化
初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。
那么dp[0]应该是多少呢？
从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。
从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。
所以初始化dp[0] = 1
确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。
举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图：
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int numTrees(int n) { vector<int> dp(n+1,0) ; dp[0] = 1; for(int i = 1;i <= n;i++){ // cout<<"dp["<<i<<"]: "; for(int j = 1; j <= i;j++){ dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];//状态转移方程 // cout<<dp[j-1] * dp[i-j]<<" "; } cout<<endl; } return dp[n]; }
