11 常用算法
11.1 二分查找(非递归)
代码:
public class BinarySearchNoRecur { public static void main(String[] args) { //测试 int[] arr = {1, 3, 8, 10, 11, 67, 100}; int index = binarySearch(arr, 100); System.out.println("index=" + index);// } //二分查找的非递归实现 /** * @param arr 待查找的数组, arr是升序排序 * @param target 需要查找的数 * @return 返回对应下标,-1表示没有找到 */ public static int binarySearch(int[] arr, int target) { int left = 0; int right = arr.length - 1; while (left <= right) { //说明继续查找 int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == target) { return mid; } else if (arr[mid] > target) { right = mid - 1;//需要向左边查找 } else { left = mid + 1; //需要向右边查找 } } return -1; } }
11.2 分治算法
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
基本介绍:
- 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题
- 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
- 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解
思路:
- 如果是有一个盘, A->C
如果我们有 n >= 2 情况,我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的盘 2. 上面的盘 - 先把 最上面的盘 A->B
- 把最下边的盘 A->C
- 把 B塔的所有盘 从 B->C
代码:
public class Hanoitower { public static void main(String[] args) { hanoiTower(10, 'A', 'B', 'C'); } //汉诺塔的移动的方法 //使用分治算法 public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) { //如果只有一个盘 if (num == 1) { System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c); } else { //如果我们有 n >= 2 情况,我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘 //1. 先把 最上面的所有盘 A->B, 移动过程会使用到 c hanoiTower(num - 1, a, c, b); //2. 把最下边的盘 A->C System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c); //3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a塔 hanoiTower(num - 1, b, a, c); } } }
11.3 动态规划
基本介绍:
- 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
- 动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解
- 与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解 )
- 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解
思路:
- 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
- 这里的问题属于 01 背包,即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包
- 算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品,根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品
放入背包中。即对于给定的 n 个物品,设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量,C 为背包的容量。再令 v[i][j]
表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
代码:
public class KnapsackProblem { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量 int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i] int m = 4; //背包的容量 int n = val.length; //物品的个数 //创建二维数组, //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值 int[][] v = new int[n + 1][m + 1]; //为了记录放入商品的情况,我们定一个二维数组 int[][] path = new int[n + 1][m + 1]; //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中,可以不去处理,因为默认就是0 for (int i = 0; i < v.length; i++) { v[i][0] = 0; //将第一列设置为0 } for (int i = 0; i < v[0].length; i++) { v[0][i] = 0; //将第一行设置0 } //根据前面得到公式来动态规划处理 for (int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的 for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的 //公式 if (w[i - 1] > j) { // 因为我们程序i 是从1开始的,因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1] v[i][j] = v[i - 1][j]; } else { //说明: //因为我们的i 从1开始的, 因此公式需要调整成 //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]); //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]); //为了记录商品存放到背包的情况,我们不能直接的使用上面的公式,需要使用if-else来体现公式 if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]; //把当前的情况记录到path path[i][j] = 1; } else { v[i][j] = v[i - 1][j]; } } } } //输出一下v 看看目前的情况 for (int i = 0; i < v.length; i++) { for (int j = 0; j < v[i].length; j++) { System.out.print(v[i][j] + " "); } System.out.println(); } System.out.println("============================"); //输出最后我们是放入的哪些商品 //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入 // for(int i = 0; i < path.length; i++) { // for(int j=0; j < path[i].length; j++) { // if(path[i][j] == 1) { // System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); // } // } // } //动脑筋 int i = path.length - 1; //行的最大下标 int j = path[0].length - 1; //列的最大下标 while (i > 0 && j > 0) { //从path的最后开始找 if (path[i][j] == 1) { System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); j -= w[i - 1]; //w[i-1] } i--; } } }
11.4 KMP
基本介绍:
- KMP 是一个解决模式串在文本串是否出现过,如果出现过,最早出现的位置的经典算法
- Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法,简称为 “KMP 算法”,常用于在一个文本串 S 内查找一个模式串 P 的
出现位置,这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表,故取这 3 人的
姓氏命名此算法. - KMP 方法算法就利用之前判断过信息,通过一个 next 数组,保存模式串中前后最长公共子序列的长度,每次
回溯时,通过 next 数组找到,前面匹配过的位置,省去了大量的计算时间
https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/7041827?ops_request_misc=%7B%22request%5Fid%22%3A%22166331315916782417047476%22%2C%22scm%22%3A%2220140713.130102334..%22%7D&request_id=166331315916782417047476&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2alltop_positive~default-1-7041827-null-null.142v47pc_rank_34_default_23,201v3control_2&utm_term=kmp&spm=1018.2226.3001.4187
思路:
动画:
代码:
public class KMPAlgorithm { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"; String str2 = "ABCDABD"; //String str2 = "BBC"; int[] next = kmpNext("ABCDABD"); //[0, 1, 2, 0] System.out.println("next=" + Arrays.toString(next)); int index = kmpSearch(str1, str2, next); System.out.println("index=" + index); // 15了 } //写出我们的kmp搜索算法 /** * * @param str1 源字符串 * @param str2 子串 * @param next 部分匹配表, 是子串对应的部分匹配表 * @return 如果是-1就是没有匹配到,否则返回第一个匹配的位置 */ public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) { //遍历 for(int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) { //需要处理 str1.charAt(i) != str2.charAt(j), 去调整j的大小 //KMP算法核心点, 可以验证... while( j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) { j = next[j-1]; } if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) { j++; } if(j == str2.length()) {//找到了 // j = 3 i return i - j + 1; } } return -1; } //获取到一个字符串(子串) 的部分匹配值表 public static int[] kmpNext(String dest) { //创建一个next 数组保存部分匹配值 int[] next = new int[dest.length()]; next[0] = 0; //如果字符串是长度为1 部分匹配值就是0 for(int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) { //当dest.charAt(i) != dest.charAt(j) ,我们需要从next[j-1]获取新的j //直到我们发现 有 dest.charAt(i) == dest.charAt(j)成立才退出 //这时kmp算法的核心点 while(j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) { j = next[j-1]; } //当dest.charAt(i) == dest.charAt(j) 满足时,部分匹配值就是+1 if(dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) { j++; } next[i] = j; } return next; } }
11.5 贪心算法
基本介绍:
- 贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时,在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择,从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
- 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解),但是都是相对近似(接近)最优解的结果
思路:
- 遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区,但没有关系)
- 将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
- 重复第 1 步直到覆盖了全部的地区
代码:
public class GreedyAlgorithm { public static void main(String[] args) { //创建广播电台,放入到Map HashMap<String,HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String>>(); //将各个电台放入到broadcasts HashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>(); hashSet1.add("北京"); hashSet1.add("上海"); hashSet1.add("天津"); HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>(); hashSet2.add("广州"); hashSet2.add("北京"); hashSet2.add("深圳"); HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>(); hashSet3.add("成都"); hashSet3.add("上海"); hashSet3.add("杭州"); HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>(); hashSet4.add("上海"); hashSet4.add("天津"); HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>(); hashSet5.add("杭州"); hashSet5.add("大连"); //加入到map broadcasts.put("K1", hashSet1); broadcasts.put("K2", hashSet2); broadcasts.put("K3", hashSet3); broadcasts.put("K4", hashSet4); broadcasts.put("K5", hashSet5); //allAreas 存放所有的地区 HashSet<String> allAreas = new HashSet<String>(); allAreas.add("北京"); allAreas.add("上海"); allAreas.add("天津"); allAreas.add("广州"); allAreas.add("深圳"); allAreas.add("成都"); allAreas.add("杭州"); allAreas.add("大连"); //创建ArrayList, 存放选择的电台集合 ArrayList<String> selects = new ArrayList<String>(); //定义一个临时的集合, 在遍历的过程中,存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集 HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>(); //定义给maxKey , 保存在一次遍历过程中,能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key //如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects String maxKey = null; while(allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区 //每进行一次while,需要 maxKey = null; //遍历 broadcasts, 取出对应key for(String key : broadcasts.keySet()) { //每进行一次for tempSet.clear(); //当前这个key能够覆盖的地区 HashSet<String> areas = broadcasts.get(key); tempSet.addAll(areas); //求出tempSet 和 allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet tempSet.retainAll(allAreas); //如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量,比maxKey指向的集合地区还多 //就需要重置maxKey // tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size()) 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的 if(tempSet.size() > 0 && (maxKey == null || tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size())){ maxKey = key; } } //maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selects if(maxKey != null) { selects.add(maxKey); //将maxKey指向的广播电台覆盖的地区,从 allAreas 去掉 allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey)); } } System.out.println("得到的选择结果是" + selects);//[K1,K2,K3,K5] } }
11.6 普里姆算法
普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含 n 个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图
基本介绍:
思路:
普利姆的算法如下:
- 设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合
- 若从顶点 u 开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点 u 放入集合U中,标记顶点 v 的 visited[u]=1
- 若集合U中顶点 ui 与集合V-U中的顶点 vj 之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将
顶点 vj 加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记 visited[vj]=1 - 重复步骤②,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有 n-1 条边
代码:
public class PrimAlgorithm { public static void main(String[] args) { //测试看看图是否创建ok char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'}; int verxs = data.length; //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数,表示两个点不联通 int [][]weight=new int[][]{ {10000,5,7,10000,10000,10000,2}, {5,10000,10000,9,10000,10000,3}, {7,10000,10000,10000,8,10000,10000}, {10000,9,10000,10000,10000,4,10000}, {10000,10000,8,10000,10000,5,4}, {10000,10000,10000,4,5,10000,6}, {2,3,10000,10000,4,6,10000},}; //创建MGraph对象 MGraph graph = new MGraph(verxs); //创建一个MinTree对象 MinTree minTree = new MinTree(); minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight); //输出 minTree.showGraph(graph); //测试普利姆算法 minTree.prim(graph, 1);// } } //创建最小生成树->村庄的图 class MinTree { //创建图的邻接矩阵 /** * * @param graph 图对象 * @param verxs 图对应的顶点个数 * @param data 图的各个顶点的值 * @param weight 图的邻接矩阵 */ public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) { int i, j; for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点 graph.data[i] = data[i]; for(j = 0; j < verxs; j++) { graph.weight[i][j] = weight[i][j]; } } } //显示图的邻接矩阵 public void showGraph(MGraph graph) { for(int[] link: graph.weight) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } //编写prim算法,得到最小生成树 /** * * @param graph 图 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1... */ public void prim(MGraph graph, int v) { //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过 int visited[] = new int[graph.verxs]; //visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过 // for(int i =0; i <graph.verxs; i++) { // visited[i] = 0; // } //把当前这个结点标记为已访问 visited[v] = 1; //h1 和 h2 记录两个顶点的下标 int h1 = -1; int h2 = -1; int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数,后面在遍历过程中,会被替换 for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs顶点,普利姆算法结束后,有 graph.verxs-1边 //这个是确定每一次生成的子图 ,和哪个结点的距离最近 for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点 for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点 if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) { //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边) minWeight = graph.weight[i][j]; h1 = i; h2 = j; } } } //找到一条边是最小 System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight); //将当前这个结点标记为已经访问 visited[h2] = 1; //minWeight 重新设置为最大值 10000 minWeight = 10000; } } } class MGraph { int verxs; //表示图的节点个数 char[] data;//存放结点数据 int[][] weight; //存放边,就是我们的邻接矩阵 public MGraph(int verxs) { this.verxs = verxs; data = new char[verxs]; weight = new int[verxs][verxs]; } }
11.7 克鲁斯卡
基本介绍:
- 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
- 基本思想:按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边,并保证这 n-1 条边不构成回路
- 具体做法:首先构造一个只含 n 个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,并使森
林中不产生回路,直至森林变成一棵树为止
思路分析:
代码:
public class KruskalCase { private int edgeNum; //边的个数 private char[] vertexs; //顶点数组 private int[][] matrix; //邻接矩阵 //使用 INF 表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 int matrix[][] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; //大家可以在去测试其它的邻接矩阵,结果都可以得到最小生成树. //创建KruskalCase 对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); //输出构建的 kruskalCase.print(); kruskalCase.kruskal(); } //构造器 public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { //初始化顶点数和边的个数 int vlen = vertexs.length; //初始化顶点, 复制拷贝的方式 this.vertexs = new char[vlen]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for(int i = 0; i < vlen; i++) { for(int j= 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } //统计边的条数 for(int i =0; i < vlen; i++) { for(int j = i+1; j < vlen; j++) { if(this.matrix[i][j] != INF) { edgeNum++; } } } } public void kruskal() { int index = 0; //表示最后结果数组的索引 int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点 //创建结果数组, 保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; //获取图中 所有的边的集合 , 一共有12边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12 //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges 数组,将边添加到最小生成树中时,判断是准备加入的边否形成了回路,如果没有,就加入 rets, 否则不能加入 for(int i=0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4 //获取到第i条边的第2个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5 //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //m = 4 //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); // n = 5 //是否构成回路 if(m != n) { //没有构成回路 ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组 } } //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。 //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(rets[i]); } } //打印邻接矩阵 public void print() { System.out.println("邻接矩阵为: \n"); for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=0; j < vertexs.length; j++) { System.out.printf("%12d", matrix[i][j]); } System.out.println();//换行 } } /** * 功能:对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */ private void sortEdges(EData[] edges) { for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换 EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = tmp; } } } } /** * * @param ch 顶点的值,比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标,如果找不到,返回-1 */ private int getPosition(char ch) { for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if(vertexs[i] == ch) {//找到 return i; } } //找不到,返回-1 return -1; } /** * 功能: 获取图中边,放到EData[] 数组中,后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; EData[] edges = new EData[edgeNum]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { if(matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends : 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中,逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解 */ private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] while(ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } } //创建一个类EData ,它的对象实例就表示一条边 class EData { char start; //边的一个点 char end; //边的另外一个点 int weight; //边的权值 //构造器 public EData(char start, char end, int weight) { this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } //重写toString, 便于输出边信息 @Override public String toString() { return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]"; } }
11.8 迪杰斯特拉
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以
起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止
基本介绍:
思路:
- 设置出发顶点为 v,顶点集合 V{v1,v2,vi...},v 到 V 中各顶点的距离构成距离集合 Dis,Dis{d1,d2,di...},Dis
集合记录着 v 到图中各顶点的距离(到自身可以看作 0,v 到 vi 距离对应为 di) - 从Dis 中选择值最小的 di 并移出Dis 集合,同时移出V集合中对应的顶点 vi,此时的 v 到 vi 即为最短路径
- 更新Dis 集合,更新规则为:比较 v 到V集合中顶点的距离值,与 v 通过 vi 到 V集合中顶点的距离值,保留
值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi,表明是通过 vi 到达的) - 重复执行两步骤,直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
视频:
代码:
public class DijkstraAlgorithm { public static void main(String[] args) { char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; //邻接矩阵 int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length]; final int N = 65535;// 表示不可以连接 matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2}; matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3}; matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N}; matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N}; matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4}; matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6}; matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N}; //创建 Graph对象 Graph graph = new Graph(vertex, matrix); //测试, 看看图的邻接矩阵是否ok graph.showGraph(); //测试迪杰斯特拉算法 graph.dsj(2);//C graph.showDijkstra(); } } class Graph { private char[] vertex; // 顶点数组 private int[][] matrix; // 邻接矩阵 private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合 // 构造器 public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) { this.vertex = vertex; this.matrix = matrix; } //显示结果 public void showDijkstra() { vv.show(); } // 显示图 public void showGraph() { for (int[] link : matrix) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } //迪杰斯特拉算法实现 /** * * @param index 表示出发顶点对应的下标 */ public void dsj(int index) { vv = new VisitedVertex(vertex.length, index); update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点 for(int j = 1; j <vertex.length; j++) { index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点 update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点 } } //更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点, private void update(int index) { int len = 0; //根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行 for(int j = 0; j < matrix[index].length; j++) { // len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和 len = vv.getDis(index) + matrix[index][j]; // 如果j顶点没有被访问过,并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离,就需要更新 if(!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) { vv.updatePre(j, index); //更新j顶点的前驱为index顶点 vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到j顶点的距离 } } } } // 已访问顶点集合 class VisitedVertex { // 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新 public int[] already_arr; // 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新 public int[] pre_visited; // 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点,就会记录G到其它顶点的距离,会动态更新,求的最短距离就会存放到dis public int[] dis; //构造器 /** * * @param length :表示顶点的个数 * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如G顶点,下标就是6 */ public VisitedVertex(int length, int index) { this.already_arr = new int[length]; this.pre_visited = new int[length]; this.dis = new int[length]; //初始化 dis数组 Arrays.fill(dis, 65535); this.already_arr[index] = 1; //设置出发顶点被访问过 this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为0 } /** * 功能: 判断index顶点是否被访问过 * @param index * @return 如果访问过,就返回true, 否则访问false */ public boolean in(int index) { return already_arr[index] == 1; } /** * 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离 * @param index * @param len */ public void updateDis(int index, int len) { dis[index] = len; } /** * 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点 * @param pre * @param index */ public void updatePre(int pre, int index) { pre_visited[pre] = index; } /** * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离 * @param index */ public int getDis(int index) { return dis[index]; } /** * 继续选择并返回新的访问顶点, 比如这里的G 完后,就是 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点) * @return */ public int updateArr() { int min = 65535, index = 0; for(int i = 0; i < already_arr.length; i++) { if(already_arr[i] == 0 && dis[i] < min ) { min = dis[i]; index = i; } } //更新 index 顶点被访问过 already_arr[index] = 1; return index; } //显示最后的结果 //即将三个数组的情况输出 public void show() { System.out.println("=========================="); //输出already_arr for(int i : already_arr) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); //输出pre_visited for(int i : pre_visited) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); //输出dis for(int i : dis) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); //为了好看最后的最短距离,我们处理 char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; int count = 0; for (int i : dis) { if (i != 65535) { System.out.print(vertex[count] + "("+i+") "); } else { System.out.println("N "); } count++; } System.out.println(); } }
11.9 佛洛依德
基本介绍:
- 和Dijkstra 算法一样,弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法
名称以创始人之一、1978 年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名 - 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
- 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径
- 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法:迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点,求出从出发访问顶点到其他顶点
的最短路径;弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点,所以需要将每一个顶点看做被访问顶点,求出从每
一个顶点到其他顶点的最短路径
思路:
- 设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik,顶点 vk 到 vj 的最短路径已知为 Lkj,顶点 vi 到 vj 的路径为 Lij,
则 vi 到 vj 的最短路径为:min((Lik+Lkj),Lij),vk 的取值为图中所有顶点,则可获得 vi 到 vj 的最短路径 - 至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路径 Lkj,是以同样的方式获得
代码:
public class FloydAlgorithm { public static void main(String[] args) { // 测试看看图是否创建成功 char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; //创建邻接矩阵 int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length]; final int N = 65535; matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 }; matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 }; matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N }; matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N }; matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 }; matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 }; matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 }; //创建 Graph 对象 Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex); //调用弗洛伊德算法 graph.floyd(); graph.show(); } } // 创建图 class Graph { private char[] vertex; // 存放顶点的数组 private int[][] dis; // 保存,从各个顶点出发到其它顶点的距离,最后的结果,也是保留在该数组 private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点 // 构造器 /** * * @param length * 大小 * @param matrix * 邻接矩阵 * @param vertex * 顶点数组 */ public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) { this.vertex = vertex; this.dis = matrix; this.pre = new int[length][length]; // 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标 for (int i = 0; i < length; i++) { Arrays.fill(pre[i], i); } } // 显示pre数组和dis数组 public void show() { //为了显示便于阅读,我们优化一下输出 char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; for (int k = 0; k < dis.length; k++) { // 先将pre数组输出的一行 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " "); } System.out.println(); // 输出dis数组的一行数据 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { System.out.print("("+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是" + dis[k][i] + ") "); } System.out.println(); System.out.println(); } } //弗洛伊德算法, 比较容易理解,而且容易实现 public void floyd() { int len = 0; //变量保存距离 //对中间顶点遍历, k 就是中间顶点的下标 [A, B, C, D, E, F, G] for(int k = 0; k < dis.length; k++) { // //从i顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G] for(int i = 0; i < dis.length; i++) { //到达j顶点 // [A, B, C, D, E, F, G] for(int j = 0; j < dis.length; j++) { len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从i 顶点出发,经过 k中间顶点,到达 j 顶点距离 if(len < dis[i][j]) {//如果len小于 dis[i][j] dis[i][j] = len;//更新距离 pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱顶点 } } } } } }
11.10 马踏棋盘
思路:
代码:
public class HorseChessboard { private static int X; // 棋盘的列数 private static int Y; // 棋盘的行数 //创建一个数组,标记棋盘的各个位置是否被访问过 private static boolean visited[]; //使用一个属性,标记是否棋盘的所有位置都被访问 private static boolean finished; // 如果为true,表示成功 public static void main(String[] args) { System.out.println("骑士周游算法,开始运行~~"); //测试骑士周游算法是否正确 X = 8; Y = 8; int row = 1; //马儿初始位置的行,从1开始编号 int column = 1; //马儿初始位置的列,从1开始编号 //创建棋盘 int[][] chessboard = new int[X][Y]; visited = new boolean[X * Y];//初始值都是false //测试一下耗时 long start = System.currentTimeMillis(); traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1); long end = System.currentTimeMillis(); System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒"); //输出棋盘的最后情况 for(int[] rows : chessboard) { for(int step: rows) { System.out.print(step + "\t"); } System.out.println(); } } /** * 完成骑士周游问题的算法 * @param chessboard 棋盘 * @param row 马儿当前的位置的行 从0开始 * @param column 马儿当前的位置的列 从0开始 * @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步 */ public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) { chessboard[row][column] = step; //row = 4 X = 8 column = 4 = 4 * 8 + 4 = 36 visited[row * X + column] = true; //标记该位置已经访问 //获取当前位置可以走的下一个位置的集合 ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row)); //对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目,进行非递减排序 sort(ps); //遍历 ps while(!ps.isEmpty()) { Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置 //判断该点是否已经访问过 if(!visited[p.y * X + p.x]) {//说明还没有访问过 traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1); } } //判断马儿是否完成了任务,使用 step 和应该走的步数比较 , //如果没有达到数量,则表示没有完成任务,将整个棋盘置0 //说明: step < X * Y 成立的情况有两种 //1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完 //2. 棋盘处于一个回溯过程 if(step < X * Y && !finished ) { chessboard[row][column] = 0; visited[row * X + column] = false; } else { finished = true; } } /** * 功能: 根据当前位置(Point对象),计算马儿还能走哪些位置(Point),并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置 * @param curPoint * @return */ public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) { //创建一个ArrayList ArrayList<Point> ps = new ArrayList<Point>(); //创建一个Point Point p1 = new Point(); //表示马儿可以走5这个位置 if((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y -1) >= 0) { ps.add(new Point(p1)); } //判断马儿可以走6这个位置 if((p1.x = curPoint.x - 1) >=0 && (p1.y=curPoint.y-2)>=0) { ps.add(new Point(p1)); } //判断马儿可以走7这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) { ps.add(new Point(p1)); } //判断马儿可以走0这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) { ps.add(new Point(p1)); } //判断马儿可以走1这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } //判断马儿可以走2这个位置 if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } //判断马儿可以走3这个位置 if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } //判断马儿可以走4这个位置 if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { ps.add(new Point(p1)); } return ps; } //根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置,进行非递减排序, 减少回溯的次数 public static void sort(ArrayList<Point> ps) { ps.sort(new Comparator<Point>() { @Override public int compare(Point o1, Point o2) { // TODO Auto-generated method stub //获取到o1的下一步的所有位置个数 int count1 = next(o1).size(); //获取到o2的下一步的所有位置个数 int count2 = next(o2).size(); if(count1 < count2) { return -1; } else if (count1 == count2) { return 0; } else { return 1; } } }); } }