[动态规划]Leetcode 198.打家劫舍(python)

题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例1

输入：[1,2,3,1]

输出：4

解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。

偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例2

输入：[2,7,9,3,1]

输出：12

解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。

偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

DP定义及状态方程

定义dp[i]表示前 i间房屋能偷窃到的最高总金额。

那么对于第i个房间有偷与不偷两种选择，

1. 如果不偷第i个房间，那么dp[i]与dp[i-1]相等；

2. 如果偷第i个房间，那么dp[i]为dp[i-2]的值再加上nums[i]，因为偷了第i个房间，那么第i-1个房间一定不能偷，此时dp[i]=dp[i-2]+nums[i]

因此对于第i个房间能够偷到的最大值为dp[i] = max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])

此题目的最终答案即为dp数组中的最大值：dp[n-1],n表示房间个数。

初始边界条件

dp[0]=nums[0]:只有一个房间，只能偷一个，

dp[1] = max(nums[0],nums[1]):两个房间的话取最大的一个偷。

最终代码

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        #dp[i] 表示前 i间房屋能偷窃到的最高总金额
        #dp[i] = max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])  
        n = len(nums)
        if n==0:
            return 0
        if n==1:
            return nums[0]
        dp = [0]* n
        dp[0] = nums[0]
        dp[1] = max(nums[0],nums[1])
        for i in range(2,n):
            dp[i] = max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])
        return dp[n-1]