一、特征值与特征向量的概念

定义1

设A是n阶方阵，若存在数 和非零向量 ，使得

(1)

则数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 a ,称为 A 的对应于特征值 的特征向量.  

注记1：

(1) 只有方阵才存在特征值和特征向量；

(2) 方阵的特征向量一定是非零向量；

(3) 对于方阵A来说，对应于同一特征值的特征向量不唯一.

定义1中，（1）式也可写成

（2），n 个未知元 n 个方程的齐次线性方程组

(2)有非零解的充要条件是系数行列式

，方阵 A  的特征方程

即：

定义2

特征方程（2）左端的 是关于数  的次多项式，记作 , 称为方阵A的特征多项式.

注记2:

(1) 方阵A 的特征值就是特征方程的解.

(2) 方阵A 的特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.

(3)  n 阶方阵 A 一定有 n 个特征值.

二、特征值与特征向量的性质

定理 1 设 是n 阶方阵 的 n个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则

这里 称为矩阵A的迹.

定理2    设 是n 阶方阵 A的特征值，对应的特征向量为 ，则

(1) 方阵A的多项式 满足

(2) 当方阵 A 可逆时，

(3) 当 时，