【刷算法】我知道的所有类似斐波那契数列的问题

简介: 有一类算法问题类似斐波那契数列,而且解决办法基本差不多。

跳台阶问题


题目描述


一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。


分析


设到第n阶总共有f(n)种跳法,而且想跳到第n阶只有两种可能,要么从第n-1阶跳一阶到达,要么从第n-2阶跳两阶到达,所以递推式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。特殊情况为,n=0的时候跳法为0;n=1时,跳法为1;n=2时,跳法为2


递归



///

function jump(n) {
    if(n < 1)
        return 0;
    if(n === 1)
        return 1;
    if(n === 2)
        return 2;
    return jump(n-1) + jump(n-2);
}

非递归

function jumpFloor(number)
{
    if(number < 1)   
        return 0;
    if(number === 1)
        return 1;
    if(number === 2)
        return 2;
    var s1 = 1;
    var s2 = 2;
    var res =  0;
    for(var i = 3;i <= number;i++){
        res = s1 + s2;
        s1 = s2;
        s2 = res;
    }
    return res;
}


变态跳台阶问题


题目描述


一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。


分析


变态的跳台阶问题处理起来确实是有些棘手,一次可以跳上的阶数是不定的。

先看n=0时,跳法f(0)=0;

n=1,只能是从第0个台阶跳过来,跳法f(1)=1;

n=2,可能是第0个台阶跳了2阶或者从第1个台阶跳了1阶,跳法f(2)=f(0)+f(1);

n=3,可能是第0个台阶跳了3阶、第1个台阶跳了2阶、第2个台阶跳了1阶,跳法f(3)=f(0)+f(1)+f(2);

...

n=n-1,跳法f(n-1)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-2);

n=n,跳法f(n)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-1);

由上面两个等式得:f(n) = f(n-1)+f(n-1) = 2f(n-1)

代码实现:

得授权,非商业转载请注明出处。

function jumpFloorII(number)
{
    if(number < 1)
        return 0;
    if(number === 1)
        return  1;
    return 2*jumpFloorII(number-1)
}

矩阵覆盖


题目描述


我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?


分析


ps:为了方便分析问题,给每个小矩形不同的颜色,其实他们之间没有差别

image.png

假设上图为用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2n的大矩形,方法数为f(n),那么f(n)可以从哪些情况推导出来呢? 首先很明显我们知道,2*1的小矩形要么是横着放要么是竖着放,所以f(n)的情况只能由以下两种情况得来:

image.png

这种情况只需要再加一个竖着的小矩形就可以了,所以这种情况其实是f(n-1)

image.png

这种情况下,只需要再加一个横着的小矩形就可以了,但是由于这种横着的小矩形只能成对出现,所以这种情况其实是f(n-2)

综上,f(n) = f(n-1)+f(n-2)

特殊情况时,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2


递归


function rectCover(n)
{
    if(n === 0)
        return 0;
    if(n === 1)
        return 1;
    if(n === 2)
        return 2;
    return rectCover(n-1) + rectCover(n-2)
}

非递归

function rectCover(n)
{
    if(n === 0)
        return 0;
    if(n === 1)
        return 1;
    if(n === 2)
        return 2;
    var s1 = 1, s2 = 2;
    var res = 0;
    for(var i = 3;i <= n;i++) {
        res = s1 + s2;
        s1 = s2;
        s2 = res;
    }
    return res;
}


母牛生小牛问题


题目描述


假设农场中成熟的母牛每年只会生一头小母牛,且永远不会死。第一年农场有1头成熟的母牛,从第二年开始,母牛开始生小母牛,每只小母牛3年之后成熟又可以生小母牛。给定整数N,求N年后牛的数量。


分析


设f(n)为n年后牛的数量,则第n年牛的来源有两个。

首先,牛是永远不会死的,所以第n-1的牛都会活到第n年;

其次,还有一部分新生的牛,因为每只小母牛3年之后成熟才可以生小母牛,所以第n-3年的未成熟小母牛到了第n年会成熟且开始生小母牛,所以第n年新生的牛来自于第n-3年的未成熟小母牛和成熟母牛。

综上,f(n) = f(n-1) + f(n-3)

特殊的,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3


直接非递归版

function cow(n) {
    if(n < 1)
        return 0;
    if(n === 1)
        return 1;
    if(n === 2) 
        return 2;
    if(n === 3)
        return 3;
    var s1 = 1, s2 = 2, s3 = 3;
    var res = 0;
    for(var i = 4;i <= n;i++){
        res = s1+s3;
        s1 = s2;
        s2 = s3;
        s3 = res;
    }
    return res;
}

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