写在前面：
上一讲我们介绍了二叉树的代码实现以及其遍历方法，这一讲我们来看一看进阶版的二叉树 —— 二叉排序树（二叉搜索树）。第一次接触这一讲知识点的朋友一时反应不过来不用太焦虑，其实是非常正常的，看讲解以及代码的同时动手画一画或者实现以下会让你更容易理解~
性质
二叉排序树它和普通的二叉树不同：
（1）如果根结点的左子树不为空，那么它左子树的所有结点的值都小于根结点。
（2）如果根结点的右子树不为空，那么它右子树的所有结点的值都大于根结点。
（3）根结点的左子树和右子树同样遵循上面两条性质。
根据性质我们可以知道，这颗排序二叉树的实现必然逃不了递归了，接下来我们来看看排序二叉树的代码是如何实现的。
二叉排序树的构建及插入
假设我们要构建起下面这颗二叉排序树，要进行如何操作呢：
（1）构建根结点 8 。
（2）插入结点 2 ，可以发现比根结点小，故插入根结点的左子树。
（3）插入结点 9 ，可以发现比根结点大，故插入根结点的右子树。
（4）插入结点 11 ，可以发现比根结点右孩子的值还要大，所以就插入到根结点右孩子的右子树。
（5）插入结点 23 ，可以发现比之前的值都要大，所以直接插到最右边的子树。
（6）插入结点 1 ，可以发现比之前的值都要小，所以直接插入到最左子树。
（7）最后插入结点 4 ，可以发现比根结点的左孩子要大，并且其左孩子没有右子树，所以直接插入即可。
整个操作的思想就是递归的思想，不断判断要插入结点的值和当前结点的值是大还是小，然后进入对应分支。
struct tree_node {
int data;
tree_node* left_child = NULL; //左孩子
tree_node* right_child = NULL; //右孩子
};
//插入孩子
void insert_child(tree_node*& root, int data) {
if (!root) {
tree_node* new_node = new tree_node();
new_node->data = data;
root = new_node;
}
else if (data < root->data)
insert_child(root->left_child, data);
else
insert_child(root->right_child, data);
}二叉排序树的查找操作
我们这里的查找操作就不想数组查找那样那么直接，需要从根结点开始往下遍历进行比较。那么如果我们想要查找上面这颗二叉树的结点 4 ，该如何进行查找呢：
（1）先从根结点开始查找。
（2）可以发现我们要查找的结点 4 要比根结点 8 要小，所以我们进入根结点的左子树进行查找。
（3）结点 4 比结点 2 的值要大，所以我们进入其右子树进行查找。
（4）结果发现，当前遍历到的结点就是我们要查找的值，直接返回即可。
二叉排序树的删除操作
二叉排序树的删除操作就要比插入操作更加繁琐一些，需要分情况进行讨论，第一次学习不要慌张，一时头脑混乱非常正常，静下心来反复思考就可以吸收啦~
我们可以将删除操作分为三种情况：
（1）删除结点是叶子结点
如果删除结点是根结点，那么直接delete根结点指针即可，因为此时树中只有一个结点了。否则，同样delete删除结点即可，因为
假如我们要删除上面那棵树的结点 23 ，我们只用找到其父结点，然后将其父结点指向删除结点的指针指向空即可。
（2）如果删除的结点只有一个孩子
如果删除结点只有左孩子，那么只需将删除结点的左孩子连接到其父结点即可；如果删除结点只有右孩子，那么只需将删除结点的右孩子连接到其父结点即可。
如果删除结点是根结点则需另外操作，将根结点指针指向它的孩子即可。
假如我们要删除结点 11 ，那只用将结点 11 的右孩子直接接到其父结点 9 即可。
（3）如果删除结点既有左孩子也有右孩子。
这里我们有两种方法去实现，根结点和树中间的结点操作都是一样的，第一种方法是找到删除结点左子树中值最大的那个结点，然后与删除结点的值替换，并删除该结点。实际操作时，我们要从删除结点的左孩子开始查找，因为删除结点的左子树中，值最大的无非就是其左孩子或在左孩子的右子树当中，这里我们就拿删除根结点进行举例：
第二种方法是找到删除结点右孩子中最小的那个，交换并删除。同样，实际操作中也是从删除结点的右孩子开始查找，删除结点右子树中最小值一定在其右孩子或右孩子的左子树当中。这两种方法都保证删除后的树中结点仍然满足二叉排序树的性质，即左孩子都比根结点小，右孩子都比根结点大：
接下来我们来看代码的操作，这里我们是以上面第一种方法来实现的。另外，我们在实现代码时，会将一些操作合并在一起，因为有些情况的实现方法是相同的，比如说在当删除结点是叶子结点或删除结点只有一个孩子时，可以合在一起讨论，具体看下面的代码详解（代码略微有点长，需要大家细细品味和思考，这里删除操作如果找不到结点，就不会进行任何操作）：
//删除结点
void delete_node(tree_node*& root, int key) {
tree_node* cur = root; //当前指针
tree_node* fa = NULL; //父指针
//找到删除结点及其父结点
while (cur != NULL)
{
if (cur->data == key)
break;
fa = cur; //更新父指针
if (key < cur->data)
cur = cur->left_child;
else
cur = cur->right_child;
}
//如果根结点为空或没有该值，直接返回
if (!cur)
return;
//1、删除结点有左右孩子
if (cur->left_child && cur->right_child)
{
tree_node* temp = cur; //用于指向左子树最大值的结点的父结点
tree_node* left_max = cur->left_child; //指向左子树中的最大值
//找到删除结点左子树的最大值
while (left_max->right_child != NULL)
{
temp = left_max; //更新父指针
left_max = left_max->right_child;
}
cur->data = left_max->data; //将删除结点的前驱的值覆盖删除结点的值
//如果删除结点的左孩子没有右孩子
if (temp == cur)
{
temp->left_child = left_max->left_child;
delete[] left_max;
}
//如果删除结点的左孩子有右孩子
else
{
temp->right_child = left_max->left_child;
delete[] left_max;
}
}
//2、如果删除结点只有左孩子
else if (cur->left_child)
{
//如果删除结点是根结点
if (!fa)
root = root->left_child;
//如果删除结点的父结点的左孩子是删除结点
else if (fa->left_child == cur)
fa->left_child = cur->left_child;
//如果删除结点的父结点的右孩子是删除结点
else
fa->right_child = cur->left_child;
delete[] cur;
}
//3、如果删除结点只有右孩子
else if (cur->right_child)
{
//如果删除结点是根结点
if (!fa)
root = root->right_child;
//如果删除结点的父结点的左孩子是删除结点
else if (fa->left_child == cur)
fa->left_child = cur->right_child;
//如果删除结点的父结点的右孩子是删除结点
else
fa->right_child = cur->right_child;
delete[] cur;
}
//4、如果删除结点没有左右孩子即是叶子结点
else
{
//如果删除结点是根结点
if (!fa)
root = NULL;
//如果删除结点的父结点的左孩子是删除结点
else if (fa->left_child == cur)
fa->left_child = NULL;
//如果删除结点的父结点的右孩子是删除结点
else
fa->right_child = NULL;
delete[] cur;
}
}全部代码
#include <iostream>
using namespace std;
struct tree_node {
int data;
tree_node* left_child = NULL; //左孩子
tree_node* right_child = NULL; //右孩子
};
//插入孩子
void insert_child(tree_node*& root, int data) {
if (!root) {
tree_node* new_node = new tree_node();
new_node->data = data;
root = new_node;
}
else if (data < root->data)
insert_child(root->left_child, data);
else
insert_child(root->right_child, data);
}
//遍历二叉树
void in_order(tree_node* root) {
if (root)
{
in_order(root->left_child);
cout << root->data << " "; //中序遍历（用于二叉排序树的输出）
in_order(root->right_child);
}
}
//删除结点
void delete_node(tree_node*& root, int key) {
tree_node* cur = root; //当前指针
tree_node* fa = NULL; //父指针
//找到删除结点及其父结点
while (cur != NULL)
{
if (cur->data == key)
break;
fa = cur; //更新父指针
if (key < cur->data)
cur = cur->left_child;
else
cur = cur->right_child;
}
//如果根结点为空或没有该值，直接返回
if (!cur)
return;
//1、删除结点有左右孩子
if (cur->left_child && cur->right_child)
{
tree_node* temp = cur; //用于指向左子树最大值的结点的父结点
tree_node* left_max = cur->left_child; //指向左子树中的最大值
//找到删除结点左子树的最大值
while (left_max->right_child != NULL)
{
temp = left_max; //更新父指针
left_max = left_max->right_child;
}
cur->data = left_max->data; //将删除结点的前驱的值覆盖删除结点的值
//如果删除结点的左孩子没有右孩子
if (temp == cur)
{
temp->left_child = left_max->left_child;
delete[] left_max;
}
//如果删除结点的左孩子有右孩子
else
{
temp->right_child = left_max->left_child;
delete[] left_max;
}
}
//2、如果删除结点只有左孩子
else if (cur->left_child)
{
//如果删除结点是根结点
if (!fa)
root = root->left_child;
//如果删除结点的父结点的左孩子是删除结点
else if (fa->left_child == cur)
fa->left_child = cur->left_child;
//如果删除结点的父结点的右孩子是删除结点
else
fa->right_child = cur->left_child;
delete[] cur;
}
//3、如果删除结点只有右孩子
else if (cur->right_child)
{
//如果删除结点是根结点
if (!fa)
root = root->right_child;
//如果删除结点的父结点的左孩子是删除结点
else if (fa->left_child == cur)
fa->left_child = cur->right_child;
//如果删除结点的父结点的右孩子是删除结点
else
fa->right_child = cur->right_child;
delete[] cur;
}
//4、如果删除结点没有左右孩子即是叶子结点
else
{
//如果删除结点是根结点
if (!fa)
root = NULL;
//如果删除结点的父结点的左孩子是删除结点
else if (fa->left_child == cur)
fa->left_child = NULL;
//如果删除结点的父结点的右孩子是删除结点
else
fa->right_child = NULL;
delete[] cur;
}
}
int main() {
int t;
cin >> t; //输入二叉树的组数
while (t--) {
tree_node* root = NULL;
int n, m;
cin >> n; //输入二叉树要插入的结点数
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x;
cin >> x;
insert_child(root, x);
}
in_order(root);
cout << endl;
cin >> m; //输入二叉树要删除的节点数
while (m--) {
int x;
cin >> x;
delete_node(root, x);
in_order(root);
cout << endl;
}
}
return 0;
}如果大家有什么问题的话，欢迎在下方评论区进行讨论哦~
